Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wählen wir unsere Faktoren so, dass wir \displaystyle x^2 ableiten und \displaystyle \cos x integrieren, erhalten wir ein Integral mit einem linearen Term statt einem quadratischen.

\displaystyle \int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}

Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten \displaystyle 2x ab und integrieren \displaystyle \sin x.

\displaystyle \begin{align} \int 2x\cdot \sin x\,dx &= 2x\cdot (-\cos x) - \int 2\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt] &= -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx\\[5pt] &= -2x\cos x + 2\sin x + C \end{align}

Alles in allem erhalten wir

\displaystyle \begin{align} \int x^2\cos x\,dx &= x^2\cdot\sin x - (-2x\cos x+2\sin x+C)\\[5pt] &= x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Wenn man mehrere partielle Integrationen benötigt, rechnet man oft in Schritten bevor man die endgültige Antwort berechnet.