Lösung 3.1:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Wenn wir beide Seiten durch \displaystyle 2-i dividieren, erhalten wir \displaystyle z auf der linken Seite,
| \displaystyle z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.} |
Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
| \displaystyle \begin{align}
z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt] &= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt] &= \frac{6+3i+4i-2}{4+1}\\[5pt] &= \frac{4+7i}{5}\\[5pt] &= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.} \end{align} |
Wir substituieren \displaystyle z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,
| \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite} &= (2-i)z\\[5pt] &= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt] &= 2\cdot\frac{4}{5} + 2\cdot\frac{7}{5}\,i - i\cdot\frac{4}{5} - i\cdot\frac{7}{5}\,i\\[5pt] &= \frac{8}{5} + \frac{14}{5}\,i - \frac{4}{5}\,i + \frac{7}{5}\\[5pt] &= \frac{8+7}{5} + \frac{14-4}{5}\,i\\[5pt] &= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt] &= 3+2i\\[5pt] &= \text{Rechte Seite.}\end{align} |
