Lösung 3.1:4d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Nachdem \displaystyle z nur in Termen von \displaystyle \bar{z} vorkommt, können wir zuerst \displaystyle \bar{z} als Unbekannte behandeln,
Wir dividieren beide Seiten durch \displaystyle 2+i,
| \displaystyle \bar{z}=\frac{1+i}{2+i}\,, |
und berechnen die rechte Seite indem wir den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner erweitern,
| \displaystyle \begin{align}
\bar{z} &= \frac{(1+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{1\cdot 2-1\cdot i +i \cdot 2 - i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt] &= \frac{2-i+2i+1}{4+1} = \frac{3+i}{5} = \frac{3}{5}+\frac{1}{5}\,i\,\textrm{.} \end{align} |
Also ist \displaystyle z=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}i\,.
Wir kontrollieren wie immer dass \displaystyle z=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}i die ursprüngliche Gleichung erfüllt,
| \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite} &= (2+i)\bar{z} = (2+i)\overline{\Bigl(\frac{3}{5}-\frac{1}{5}\,i\Bigr)} = (2+i)\Bigl(\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\,i\Bigr)\\[5pt] &= 2\cdot\frac{3}{5}+2\cdot\frac{1}{5}\,i+i\cdot\frac{3}{5}+i\cdot\frac{1}{5}\,i = \frac{6}{5}+\frac{2}{5}\,i+\frac{3}{5}\,i-\frac{1}{5}\\[5pt] &=\frac{6-1}{5}+\frac{2+3}{5}\,i = 1+i = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align} |
