Lösung 3.3:3d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Zuerst ziehen wir den Faktor \displaystyle i vom Ausdruck heraus, sodass \displaystyle z^2 allein steht
| \displaystyle i\Bigl(z^2+\frac{2+3i}{i}z-\frac{1}{i}\Bigr)\,\textrm{.} |
Jetzt vereinfachen wir die komplexen Brüche, indem wir sie mit dem konjugierten, komplexen Nenner erweitern (\displaystyle -i in diesen Fall)
| \displaystyle \begin{align}
i\Bigl(z^2+\frac{(2+3i)\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}z-\frac{1\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}\Bigr) &= i\Bigl(z^2+\frac{-2i+3}{1}z-\frac{-i}{1}\Bigr)\\[5pt] &= i\bigl(z^2+(3-2i)z+i\bigr)\,\textrm{.} \end{align} |
Jetzt verwenden wir die Formel für die quadratische Ergänzung für den Ausdruck in den Klammern
| \displaystyle \begin{align}
i\bigl(z^2+(3-2i)z+i\bigr) &= i\Bigl(\Bigl(z+\frac{3-2i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3-2i}{2}\Bigr)^2+i\Bigr)\\[5pt] &= i\bigl(\bigl(z+\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2 - \bigl(\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2+i\bigr)\\[5pt] &= i\bigl(\bigl(z+\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2-\tfrac{9}{4}+3i-i^2+i\bigr)\\[5pt] &= i\bigl(\bigl(z+\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2-\frac{5}{4}+4i\bigr)\\[5pt] &= i\bigl(z+\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2-\tfrac{5}{4}i+4i^2\\[5pt] &= i\bigl(z+\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2-4-\tfrac{5}{4}i\,\textrm{.} \end{align} |
