Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Eine quadratische Gleichung wie diese löst man durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \begin{align} (z-2)^2-2^2+5&=0,\\[5pt] (z-2)^2+1&=0. \end{align}

Berechnen wir die Wurzel der rechten Seite, erhalten wir die Lösungen (Wurzeln) \displaystyle z-2=\pm i, also \displaystyle z=2+i und \displaystyle z=2-i.

Wir können diese Lösungen in der Gleichung substituieren, um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben.

\displaystyle \begin{align} z=2+i:\qquad z^2-4z+5 &= (2+i)^2-4(2+i)+5\\[5pt] &= 2^2+4i+i^2-8-4i+5\\[5pt] &= 4+4i-1-8-4i+5\\[5pt] &=0\\[10pt] z={}\rlap{2-i:}\phantom{2+i:}{}\qquad z^2-4z+5 &= (2-i)^2-4(2-i)+5\\[5pt] &= 2^2-4i+i^2-8+4i+5\\[5pt] &= 4-4i-1-8+4i+5\\[5pt] &= 0 \end{align}