Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir

\displaystyle \begin{align} \Bigl(z-\frac{2-i}{2}\Bigr)^2-\Bigl(\frac{2-i}{2}\Bigr)^2+3-i &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{2-i}{2}\Bigr)^2-\Bigl(1-i+\frac{1}{4}i^2\Bigr)+3-i&=0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{2-i}{2}\Bigr)^2-1+i+\frac{1}{4}+3-i&=0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{2-i}{2}\Bigr)^2+\frac{9}{4}&=0\,\textrm{.} \end{align}

Die Wurzeln sind

\displaystyle z-\frac{2-i}{2} = \pm\frac{3}{2}\,i\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align} &1+i\,,\\ &1-2i\,\textrm{.} \end{align}\right.

Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung

\displaystyle \begin{align} z={}\rlap{1+i:}\phantom{1-2i:}{}\quad z^2-(2-i)z+(3-i) &= (1+i)^2-(2-i)(1+i)+3-i\\[5pt] &= 1+2i+i^2-(2+2i-i-i^2)+3-i\\[5pt] &= 1+2i-1-2-i-1+3-i\\[5pt] &=0\,,\\[10pt] z=1-2i:\quad z^2-(2-i)z+(3-i) &= (1-2i)^2-(2-i)(1-2i)+3-i\\[5pt] &= 1-4i+4i^2-(2-4i-i+2i^2)+3-i\\[5pt] &= 1-4i-4-2+5i+2+3-i\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}