Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung

\displaystyle \begin{align} \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{3}{2}\,i + \frac{9}{4} - 4 + 3i &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - 2 + \frac{3}{2}\,i &= 0\,. \end{align}

Lassen wir \displaystyle w=z-\frac{1+3i}{2}, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle w^2=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}

Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir \displaystyle w=x+iy sein und versuchen \displaystyle x und \displaystyle y zu bestimmen.

Substituieren wir \displaystyle w=x+iy, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle (x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i

und wir erweitern die linke Seite

\displaystyle x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}

Lassen wir den Real- und Imaginärteil gleich sein, erhalten wir die Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align} x^2-y^2 &= 2\\[5pt] 2xy &= -\frac{3}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung, die wir verwenden können, nämlich

\displaystyle (x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i.

Berechnen wir den Betrag von beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2},

also

\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}

Jetzt haben wir drei Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align} x^2 - y^2 &= 2\,,\\[5pt] 2xy &= -\frac{3}{2}\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \frac{5}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Addieren wir die erste Gleichung zur dritten, erhalten wir

	\displaystyle x^2	\displaystyle {}-{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle 2
\displaystyle +\ \	\displaystyle x^2	\displaystyle {}+{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{5}{2}
	\displaystyle 2x^2			\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{9}{2} .

und das ergibt \displaystyle x=\pm\tfrac{3}{2}. Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir

	\displaystyle x^2	\displaystyle {}+{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle -\ \	\displaystyle \bigl(x^2	\displaystyle {}-{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle 2\rlap{\bigr)}
			\displaystyle 2y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{1}{2} .

Also ist \displaystyle y=\pm\tfrac{1}{2}. Das ergibt vier mögliche Lösungen.

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right.

Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung \displaystyle 2xy=-\tfrac{3}{2}, nämlich

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2}\,. \end{align}\right.

Daher erhalten wir die Lösungen

\displaystyle w=\frac{3-i}{2}\quad und \displaystyle \quad w=\frac{-3+i}{2}

oder in \displaystyle z

\displaystyle z=2+i\quad und \displaystyle \quad z=-1+2i\,\textrm{.}

Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben

\displaystyle \begin{align} z={}\rlap{2+i:}\phantom{-1+2i:}{}\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (2+i)^2 - (1+3i)(2+i) - 4 + 3i\\[5pt] &= 4+4i+i^2-(2+i+6i+3i^2)-4+3i\\[5pt] &= 4+4i-1-2-7i+3-4+3i\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z=-1+2i:\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (-1+2i)^2-(1+3i)(-1+2i)-4+3i\\[5pt] &= (-1)^2-4i+4i^2-(-1+2i-3i+6i^2)-4+3i\\[5pt] &= 1-4i-4+1+i+6-4+3i\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}