Lösung 3.4:1e
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Um einen Ausdruck im Zähler zu erhalten, der durch \displaystyle x^2+3x+1 teilbar ist, müssen wir den Ausdruck \displaystyle 3x^2+x addieren und subtrahieren, sodass wir \displaystyle x^3+3x^2+x=x(x^2+3x+1) im Zähler erhalten
| \displaystyle \begin{align}
\frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1} &= \frac{x^3\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{{}+3x^2+x-3x^2-x}+2x^2+1}{x^2+3x+1}\\[5pt] &= \frac{x^3+3x^2+x}{x^2+3x+1} + \frac{-3x^2-x+2x^2+1}{x^2+3x+1}\\[5pt] &= \frac{x(x^2+3x+1)}{x^2+3x+1} + \frac{-x^2-x+1}{x^2+3x+1}\\[5pt] &= x+\frac{-x^2-x+1}{x^2+3x+1}\,\textrm{.} \end{align} |
Jetzt machen wir das genauso mit dem neuen Bruch, wir addieren und subtrahieren \displaystyle -3x-1 zu/von \displaystyle -x^2 und erhalten
| \displaystyle \begin{align}
x + \frac{-x^2-x+1}{x^2+3x+1} &= x + \frac{-x^2\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{{}-3x-1+3x+1}-x+1}{x^2+3x+1}\\[5pt] &= x + \frac{-x^2-3x-1}{x^2+3x+1} + \frac{3x+1-x+1}{x^2+3x+1}\\[5pt] &= x - 1 + \frac{2x+2}{x^2+3x+1}\,\textrm{.} \end{align} |
