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ZusatzStoffTUB

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Zusätzlicher Stoff im Präsenzbrückenkurs der TU Berlin

Inhalt:

  • erster Punkt
  • zweiter Punkt
  • dritter Punkt

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • erstes Ziel
  • zweites Ziel

Inhaltsverzeichnis

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3.1. Geometrie im Raum

A - Vektoren des R3

BESCHREIBUNG

Vektoren, Vektoraddition, skalare Multiplikation (später wird das auf allgemeinen Vektorräumen ausgedehnt / verallgemeinert)

B - Karthesisches Koordinatensystem

Rechtssystem definieren (wird unten benutzt).

C - (Standart-)Skalarprodukt im R3 ("Punktprodukt")

Für v=v1v2v3 und w=w1w2w3:


vw:=v1w1+v2w2+v3w3=vw
vwR


(analog im R2 vw=v1v2w1w2=v1w1+v2w2 )

Zwei Besipiele einfügen R2R3.

Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobei man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhält, während man bei der skalaren Multiplikation einen Vektor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhählt.

Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts

Mit dem Skalarprodukt lassen sich Winkel und Länge zweier Vektoren miteinander verknüpfen. Hierbei gilt

vw=vwcos(vw)

Beispiel 1
cos(vw)=vwvw a=2−31b=314 cos(ab)=23+(−3)1+144+9+19+1+16=7142603669


Winkel zwischen a,b : (ab)6848

Diesen Zusammenhang kann man folgendermasen begründen:

Betrachte die Vektoren vw 

BILD (Vektoren v und w, w ist parallel zur x-Achse)


w=w0  , v=ab 
v=a2+b2  w=w


cos=AnkatheteHypothenuse=av=aa2+b2a=vcos
Dann ist


vw=w0ab=w0vcosb=wvcos+0b 


=wvcos

Die Begründung ist für alle Vektoren gültig, da man alle Vektoren vwR3 so drehen kann, dass w parallel zur x-Achse ist und v in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unverändert.

Folgerungen

Aus diesem Zusammenhang zwischen Winkel und Länge lassen sich folgende Schlüsse aus dem Skalarprodukt ziehen.

  1. Für vw=0 ist
    vw=0
    cosvw=0
    vw
    "v orthogonal zu w"

  2. Für v=w ist vv=vvcos0=v2
    also

    v=v12+v22+v32 


    (vgl. den Satz des Pythagoras v=v12+v22  in R2. Die obige Formel lässt sich also als Analogon zum Satz des Pytagoras im 3 dimensonalen Raum interpretieren.)

Das Skalarprodukt macht Aussagen über

  • die Länge(Norm) des Vektors wenn v=w
  • Winkelgröße, die von den Vektoren eingeschlossen wird
  • eine schnelle Möglichkeit um heraus zu finden ob Winkel senkrecht zueinander sind

D - Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")

Eine weitere Möglichkeit Vektoren aus dem R3 zu verknüpfen bietet das das Kreuzprodukt.

Im R3 definiere v1v2v3w1w2w3=v2w3−v3w2v3w1−v1w3v1w2−v2w1.

Beispiele einfügen. Einfach zum Ausrechnen. Dann Bsp. fuer: Parallele Vektoren haben Kreuzprodukt Null

Eigenschaften von \displaystyle \vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}

  1. \displaystyle \vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}
    Begründung: \displaystyle <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3 \displaystyle =v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0
    Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren \displaystyle \vec{u} und \displaystyle \vec{v} 0 ergibt wissen wir, dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind. Dieses macht die Suche nach einem orthogonalen Vektor einfach.
    Das gleiche gilt analog für \displaystyle <\vec{u}, \vec{w}>.
  2. \displaystyle ||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}
    Bemerkung: \displaystyle ||\vec{u}|| ist der Flächeninhalt des von \displaystyle \vec{v}, \vec{w} aufgespannten Parallelogramms. BILD (mit \displaystyle h = ||\vec{w} || \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}})
  3. \displaystyle \vec{v} \text{(Daumen)}, \vec{w} \text{(Zeigefinger) und } \vec{u} \text{(Mittelfinger)} sind Rechtssystem (s.o.)
  4. \displaystyle \vec{v} \times \vec{v}=\vec{0}
  5. \displaystyle \vec{w} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{w} Bild

Beispiel 2 a) BILD Winkelbeschleunigung.

Beispiel 2 b) 

BILD

Ladung q mit Geschw. \displaystyle \vec{v} in Feld \displaystyle \vec{B} \displaystyle \vec{F}= q \vec{v} \times \vec{B}.


E - Spatprodukt

Für \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \in R ^3 setze

\displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} = <(\vec{a} \times \vec{b}),\vec{c}>.
Das Ergebnis ist ein Skalar.


\displaystyle ||\vec{a} \times \vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})}
\displaystyle =||\vec{a} ||\cdot ||\vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})} \sin{(\vec{a} , \vec{b})}

\displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} ist das Volumen von dem von \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} aufgespannten Spats. 

Bild(Vektoren a, b und c und deren Spat)

F - Funktionen

Bisher wurden Funktionen normalerweise nur als \displaystyle f : R \rightarrow R \displaystyle x \mapsto f(x) definiert. Wertebereich \displaystyle \rightarrow Bildbereich
("\displaystyle \rightarrow " "ist Funktion von ... nach ...")
("\displaystyle \mapsto " bildet Element x ab auf f(x))

Allerdings sind größere Werte-/Bildbereiche für einge Themen sehr nützlich.

Beispiel 3

Raumkurven (als Funktion der Zeit)

  1. Flugkurve / Bewegung entlang einer Gerade im Raum.
    \displaystyle f: R \rightarrow R^3
    \displaystyle t \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\1 \\2 \end{pmatrix} + t\, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}
  2. Flugkurven eine UFOs im Laufe der Zeit
    \displaystyle f: R \rightarrow R^3
    \displaystyle t \mapsto \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}
    (Koordinaten des UFOs zur Zeit t.
  3. Position des Randpunktes R als Funktion der Zeit:
    \displaystyle f: R \rightarrow R^2
    \displaystyle t \mapsto \begin{pmatrix} \sin{(wt)} \\ \cos{(wt)} \end{pmatrix}
    w: Frequenz der Drehung BILD Drehscheibe MP:(0,0)


Beispiel 4

Funktionen des Ortes

  1. Satelitenfilm: Messung Wolkendichte (0- 100%) in jedem Punkt
    \displaystyle f: R^2 \rightarrow R
    f(x,y)= Wolkendichte in %
    "Skalarwertig"
  2. wie oben: Sattellitenfilm,
    In jedem Punkt: Wolkengeschw.
    f: R^2 \rightarrow R^2
    f(x,y)= \displaystyle \begin{pmatrix} v_x(x,y) \\ v_y(x,y) \end{pmatrix} "Vektorwertig"

3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1. Mögliche Lösungsmengen Beispiel: Schnittpunkte von zwei Geraden
\displaystyle g: y= \frac{1}{2}x=2
\displaystyle h: y= -3x+7
Standartform für Lineare Gleichungssysteme (LGS): Variablen links, Zahlen rechts
\displaystyle g: \frac{1}{2}x-y=-2(*)
\displaystyle h: 3x+y=7(*)

Das Lösungspaar muss hier beide Gleichungen erfüllen. Betrachte hierfür die Lösungsmenge von (*) L={(x,y) |(x,y) erfüllt beide Gleichungen aus (*)}

Fuer die Lösungsmenge gibt es drei Möglichkeiten (bei ALLEN linearen Gleichungssystemen) 

Bild (2 Geraden g und h mit einem Schnittpunkt)

eine Lösung 

Bild (2 Geraden g und h, die parallel zueinander sind)

keine Lösung \displaystyle L=\not \circ 

Bild (Gerade g=h)

unendlich viele Lösungen

Lösungsverfahren für LGS
Wie gewöhnlich bei linearen Gleichungen, kann man

  • Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl
  • Umstellen einer Gleichung

zusätzlich jedoch kann man

  • eine Gleichung durch die Summe von zwei Gleichungen aus dem LGS ersetzen.

Beispiel 1
\displaystyle \begin{array} (1) & -\frac{1}{2}x & + & y & = & 2 & | \cdot (-1) \\ (2) & 3x & + & y & = & 7 \\ & \\ \rightarrow & \frac{1}{2}x & - & y & = & -2 & \downarrow + \\ & 3x & + & y & = & 7 & \\ &\\ \rightarrow & \frac{1}{2}x & - & y & = & -2 \\ & \frac{7}{2}x & & & = & 5 &| : \left(\frac{7}{2}\right) \\ & \\ & & & x & = & \frac{10}{7}\\ \end{array}


Einsetzen in (1) \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{7} - y= -2 \displaystyle \Leftrightarrow \frac{5}{7} + 2= y \displaystyle \Leftrightarrow \frac{19}{7}= y

\displaystyle L={(\frac{10}{7}, \frac{19}{7})}

Größere Gleichungssysteme: Systematisches Lösen (1. Fall)

Ergänze: Erklären der Systematik.

\displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & 3x & - & y & + & z & = & 0 & | & (-3)\cdot (I) + (II) \\ (III) & -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 & | & (I) + (III) \\ \end{array}
Elimination der ersten Variable ab der 2. Spalte

\displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & & - & 7y & + & 4z & = & -9 & \\ (III) & & + & 4y & + & z & = & 4 & | & 4\cdot (II) + 7\cdot (III) \\ \end{array}

\displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & & - & 7y & + & 4z & = & -9 & \\ (III) & & & & & 23z & = & -8 & | & 4\cdot (II) + 7\cdot (III) \\ \end{array}

Obere Dreiecksform, Lösen durch Rückwärtseinsetzen.


(III) \displaystyle z=-\frac{8}{23}
(II) \displaystyle -7x-4\cdot \frac{8}{23}= -9
\displaystyle -7y = - \frac{175}{23} \displaystyle y= \frac{25}{23}
(I) \displaystyle x= -2y + z + 3
\displaystyle = \frac{50}{23} - \frac{8}{23} +3 = \frac{11}{23}


\displaystyle L={(\frac{11}{23}, \frac{25}{23}, -\frac{175}{23})}

Das Gleiche kann auch ohne Variablen aufgeschrieben werden, so spart man sich Schreibarbeit und die Gleichungen werden übersichtlicher. Hierbei werden einfach nur die Koeffizienten von den Variablen aufgeschrieben. Es muss dabei auf die Reihenfolge und Vorzeichen der Koeffizienten weiterhin geachtet werden. Alle Rechenregeln bleiben dabei erhalten.

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 2 & 2 & | & 1 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 4 & 1 & | & 4 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 0 & 23 & | & -8 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{array} & ax & + & by & + & cz & = & k \\ & dx & + & ey & + & fz & = & l \\ & gx & + & hy & + & iz & = & m \\ \end{array} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} a & b & c & | & k \\ d & e & f & | & l \\ g & h & i & | & m \\ \end{bmatrix}

Beispiel 2
Keine Lösung Bei den Umformungen entsteht eine "Widerspruchszeile".

\displaystyle \begin{array} & x & + & y & & & = & 1 & \\ & & & y & + & z & = & 1 & \\ & x & + & 2y & + & z & = & 3 & \\ \end{array}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ \end{bmatrix}\rightarrow \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ \end{bmatrix}\rightarrow \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ \end{bmatrix}

Beim "Rückeinsetzen" \displaystyle x+y=1 \displaystyle y+z=1 \displaystyle 0=1 \rightarrow nie erfuellt \displaystyle L= \not \circ

Beispiel 3 Unendlich viele Lösungen : Bei den Umformungen entsteht eine "Nullzeile". \displaystyle \begin{array} & x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 6 & \\ & & & x_2 & + & 4x_3 & = & 10 & \\ & & & -3x_2 & - & 12x_3 & = & -30 & \\ \end{array} \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & -3 & -12 & | & -30 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ \end{bmatrix}

Gleichungen: \displaystyle \begin{array} & & & x_2 & + & 4x_3 & = & 10 & \\ & x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 6 & \\ \end{array}

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Die Lösung ist hier nur in Abhänigkeit einer (oder mehrer) Variablen festgelegt.

z.B. \displaystyle x_3 \text{vorgegeben} x_2, x_1 festgelegt, nämlich \displaystyle x_2= 10 -4x_3 \displaystyle x_1= 6 -2x_2-3x_3 \displaystyle = 6 -2(10 -4x_3)-3x_3 \displaystyle x_1= -14+ 5x_3 \displaystyle L={(-14=5x_3, 10-4x_3, x_3)|x_3 \in R} oder \displaystyle L= {\begin{pmatrix} -14+ 5x_3 \\ 10 -4x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}| x_3 \in R}

B - Marix-Vektor-Multiplikation

Eine Matrix A mit n Spalten kann nach folgendem Schema mit einem Vektor mit n Zeilen multipliziert werden.

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\cdot 1 + 5\cdot 2 + 6\cdot 3 \\ 4\cdot 4 + 5\cdot 5 + 6\cdot 6 \\ 4\cdot 7 + 5\cdot 8 + 6\cdot 9 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 32 \\ 77 \\ 122 \\ \end{bmatrix}

Hier wird immer Zeile mal Spalte gerechnet.

C - Zusammenhang zu LGSen

1. Beispiel von oben: Koeffizientenmatrix \displaystyle A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \displaystyle b=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} "rechte Seite" A multipliziert mit einem unbekannten Vektor \displaystyle \vec{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} ergibt \displaystyle A \cdot \vec{x}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1\cdot 1 & x_2\cdot 2 & x_3\cdot 3 \\ x_1\cdot 4 & x_2\cdot 5 & x_3\cdot 6 \\ x_1\cdot 7 & x_2\cdot 8 & x_3\cdot 9 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}=\vec{b}

Lösungen eines linearen Gleichungsszstem sind also genau die Vektoren \displaystyle \vec{x} bei denen die Multiplikation mit A als Ergebnis die rechte Seite \displaystyle \vec{b} ergibt. \displaystyle (x_1,x_2,x_3) \text{löst} \begin{array} & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ & 3x & - & y & + & z & = & 0 & \\ & -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 & \\ \end{array} \Leftrightarrow A\vec{x} =\vec{b} \text{mit} A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix}, \vec{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} , \vec{b}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

Methoden und Interpretationen hierfür sind zentrales Thema der Linearen Algebra.

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