1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 11:58, 26. Apr. 2009

Steigende und fallende Funktionen

Man sagt dass eine Funktion steigend ist falls ihre Ableitung positiv ist, und fallend falls ihre Ableitung negativ ist.

Die formelle Definitionen lauten:

Eine Funktion f ist steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle x1 und x2 im Intervall:

x1x2f(x1)f(x2).

Eine Funktion f ist fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle x1 und x2 im Intervall:

x1x2f(x1)f(x2).

Die Definition sagt uns also dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt, immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat als der linke Punkt. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig steigend und fallend sein.

Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng steigend und streng fallend:

Eine Funktion f ist streng steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle x1 und x2 im Intervall:

x1x2f(x1)f(x2).

Eine Funktion f ist streng fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle x1 und x2 im Intervall:

x1x2f(x1)f(x2).

(Eine streng steigende oder fallend Funktion kann nicht konstant sein)

Um zu bestimmen ob eine Funktion steigend oder fallend ist, verwendet man sich von der Ableitung der Funktion. Es gilt dass:

f(x)0f(x)0f(x) ist (streng) steigend,f(x) ist (streng) fallend.

Hinweis: Das umgekehrte gilt nicht. Eine Funktion wessen Ableitung in einen bestimmten Punkt null ist, kann sehr wohl streng steigend oder streng fallend sein. So lange die Ableitung nur in einen isolierten Punkt null ist, und nicht auf einen Intervall, kann die Funktion streng steigend oder streng fallend sein.

Stationäre Punkte

Punkte wo f(x)=0 benennt man als stationäre Punkte, oder kritische Punkte. Es gibt drei verschiedene Arten von Stationären Punkten:

• Lokaler Hochpunkt wo f(x)0 links vom Punkt ist, und f(x)0 rechts vom Punkt ist.
• Lokaler Tiefpunkt wo f(x)0 links vom Punkt ist, und f(x)0 rechts vom Punkt ist.
• Sattelpunkt wo f(x)0 oder f(x)0 auf beiden Seiten des Punktes ist.

Hinweis: Ein Punkt kann ein lokaler Tiefpunkt oder ein lokaler Hochpunkt sein, ohne dass f(x)=0; lesen Sie mehr darüber im Abschnitt Maxima und Minima.

Sattelpunkte

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt wo die Ableitung einer Funktion null ist, und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Hoch- oder Tiefpunkte der Ableitung.

Die Funktion hat einen lokalen Tiefpunkt in x=−2, einen Sattelpunkt in x=0 und einen lokalen Hochpunkt in x=2.

Vorzeichentabelle

Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) studiert, kann man viel Information über die Funktion bekommen.

Um die Funktion zu studieren macht man eine so genannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte wo f(x)=0, und die Punkte wo die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen Stationären Punkten.

Beispiel 2

Machen Sie eine Vorzeichentabelle von der Funktion f(x)=x3−12x+6 und zeichnen Sie die Funktion.

Die Ableitung der Funktion ist

f(x)=3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)

Der Faktor x−2 ist negativ links von x=2 und positiv rechts von x=2. Der Faktor x+2 ist negativ linkt von x=−2 and positiv rechts von x=−2. Durch diese Information erschaffen wir eine Tabelle:

x		−2		2
x−2	−	−	−	0	+
x+2	−	0	+	+	+

Nachdem die Ableitung der Produkt von x−2 und x+2 ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:

x		−2		2
f(x)	+	0	−	0	+
f(x)		22		−10

In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen indiziert ob die Funktion streng steigend () oder streng fallend () ist im Intervall, und zusätzlich die Werte der Funktion in den Stationären Punkten x=−2 und x=2.

Von der Tabelle sehen wir dass die Funktion einen lokalen Hochpunkt in (–222) hat, und einen lokalen Tiefpunkt in (2–10) hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:

Maxima und Minima (Extremwerte)

A point at which a function takes on its largest or smallest value in comparison with its immediate surroundings is called a local maximum or local minimum (often abbreviated to max and min). Local maxima and minima are together known as extrema.

An extremum may occur in one of three ways:

• At a stationary point (where f(x)=0).
• At a point where the derivative does not exist (known as a singular point).
• At an endpoint to the interval where Die Funktion is defined.

When one is looking for the extrema of a function one must discover and examine all possible candidates for these points. An appropriate working procedures is:

1. Differentiate Die Funktion.
2. Check to see if there are any points where f(x) is not defined.
3. Determine all points where f(x)=0.
4. Make a table of signs to locate and classify all of the extrema.
5. Calculate the value of Die Funktion for all the extrema and at any endpoints.

Beispiel 4

Determine all the extrema of the curve y=3x4+4x3−12x2+12.

Die Funktion's derivative is given by

y=12x3+12x2−24x=12x(x2+x−2).

In order to determine how the sign of the derivative varies along the real-number axis, we factorise the derivative as completely as possible. We have already managed to take out the factor 12x and we can factorise further the remaining term x2+x−2 by identifying its zeros

x2+x−2=0x=−2orx=1

This means that x2+x−2=(x+2)(x−1) and the derivative can be rewritten as

y=12x(x+2)(x−1).

It can be seen immediately from this that the derivative is zero for x=−2, x=0 and x=1. In addition, we can see how the derivatives sign varies by examining the sign of each individual factor in the product for different values of x.

x		−2		0		1
x+2	−	0	+	+	+	+	+
x	−	−	−	0	+	+	+
x−1	−	−	−	−	−	0	+

The derivative is the product of these factors, and we may obtain the sign of the derivative by multiplying together signs of the factors in each interval.

x		−2		0		1
f(x)	−	0	+	0	−	0	+
f(x)		−20		12		7

The curve has thus local minima at (–2–20) and (17) and a local maximum at (012).

Beispiel 5

Determine all extrema of the curve y=x−x23 .

The derivative of Die Funktion is given by

y=1−32x−13=1−3213x.

From this expression, we see that y is not defined for x=0 (although which y is defined). This means that Die Funktion has a singular point at x=0.

The stationary points of Die Funktion are given by

y=01=3213x3x=32x=323=827.

The only points at which Die Funktion might have an extremum are thus x=0 and x=827. In order to determine the nature of these points we create a table of signs:

x		0		827
y	+	not def.	−	0	+
y		0		−427

The curve has a local maximum at (00) (a cusp) and a local minimum at (827−427).

Global min / max

A function has aglobal maximum at a point if its value there is greater than, or at least equal to, its value at any other point where it is defined; similarly, a global minimum is a point where Die Funktion's value is less than, or at most equal to, its value anywhere else.

To determine a function's global max or min one must therefore find all the extrema and calculate the values of Die Funktion at them. If Die Funktion is defined on an interval with endpoints, one must of course also examine its value at these points.

Note that a function need not have a global max or a global min, even if it has several local extrema.

In applications, circumstances often dictate that a function has a limited interval where it is defined, i.e. one only studies part of the graph of Die Funktion. One must therefore be careful in case the global max or min is at an endpoint of the interval.

The above function is only of interest in the interval axe. We see that the minimum value of Die Funktion in this interval occurs at the stationary point x=b, while the maximim value is found at the endpoint x=e.

Beispiel 7

Determine the maximum and minimum value of Die Funktion f(x)=x3−3x+2 in the interval −0.5x1.

We differentiate Die Funktion, f(x)=3x2−3, and put the derivative equal to zero to obtain all the stationary points

f(x)=0x2=1x=1.

The point x=–1 is outside the interval on which Die Funktion is defined, and x=1 lies at one endpoint of this interval. Since Die Funktion has no singular points (it is differentiable everywhere), its maximum and minimum must be at the interval's endpoints,

f(−0.5)f(1)=3.375,=0.

Die Funktion's maximum value on the given interval is thus 3.375. The minimum value is 0 (see the figure).

The figure shows Die Funktion with the whole graph as a dashed curve , with the part that is within the given interval appearing as a continuous curve.

The second derivative

The sign of the derivative of a function gives us information about whether Die Funktion is increasing or decreasing. Similarly, the sign of the second derivative can show if the first order derivative is increasing or decreasing. This can , among other things, be used to find out whether a given extremum is a maximum or minimum.

If Die Funktion f(x) has a stationary point at x=a where f(a)0, then

1. The derivative f(x) is strictly decreasing in some interval surrounding x=a.
2. Since f(a)=0 then f(x)0 to the left of x=a and f(x)0 to the right of x=a.
3. This means that Die Funktion f(x) has a local maximum at x=a.

If Die Funktion f(x) has a stationary point at x=a where f(a)0, then

1. The derivative f(x) is strictly increasing in some interval around x=a.
2. Since f(a)=0 then f(x)0 to the left of x=a and f(x)0 to the right of x=a.
3. This means that Die Funktion f(x) has a local minimum at x=a.

If f(a)=0, no information can be deduced, and further investigation is required, for example by means of a table of signs. Note in particular that f(a)=0 does not imply that the point is a stationary point of inflexion (although f(a)=0 at all points of inflexion, it can also be zero elsewhere, including at maxima and minima).

Beispiel 8

Determine all the extrema of Die Funktion f(x)=x3−x2−x+2 and determine their character by using the second derivative.

This function is a polynomial and is therefore differentiable everywhere. If Die Funktion has any extrema, they must therefore be found among the stationary points. We thus differentiate Die Funktion, f(x)=3x2−2x−1, and equate the derivative to zero

f(x)=0x2−32x−31=0x=1orx=−31.

Die Funktion has stationary points at x=1 and x=−31. By examining the sign of the second derivative f(x)=6x−2, we can classify each stationary point .

• For x=−31 we have that f(−31)=−40 and that means that x=−31 is a local maximum.
• For x=1 we have that f(1)=40 and that means that x=1 is a local maximum.