Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 2.1:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 2.1:4c moved to Lösung 2.1:4c: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
First, we need a picture of what the region looks like.
+
Zuerst sehen wir in der Figur welches unseres Gebiet ist.
-
Both curves, <math>y=x^2/4+2</math> and <math>y=8-x^2/8</math>, are parabolas, the first with a minimum value <math>y=2</math> when <math>x=0</math>, and the second with a maximum value of <math>y=8</math> when <math>x=0</math>. Roughly speaking, the curves have the appearance shown in the figure below, where the shaded region whose area we are trying to find lies between the curves.
+
Die Kurven <math>y=x^2/4+2</math> und <math>y=8-x^2/8</math> sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat das Minimum <math>y=2</math> wenn <math>x=0</math>, und die zweite das Maximum <math>y=8</math> wenn <math>x=0</math>. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.
[[Image:2_1_4_c.gif|center]]
[[Image:2_1_4_c.gif|center]]
-
The region is bounded above by the parabola <math>y=8-x^2/8</math> and below by the parabola <math>y=x^2/4+2</math>. If we can determine the ''x''-coordinates, <math>x=a</math> and <math>x=b</math>, for the points of intersection between the curves, the area we are looking for will be given by
+
Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion <math>y=8-x^2/8</math> und die untere Grenze die Funktion <math>y=x^2/4+2</math>. Bestimmen wir die Schnittstellen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> der beiden Kurven, ist die Fläche
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-
The integrand is the ''y''-value for the upper parabola minus the corresponding ''y''-value for the lower parabola.
+
Die Fläche ist der Integral des Unterschiedes zwischen den beiden Funktionen.
-
At the points where the curves intersect each other, the ''x''- and ''y''-coordinates are equal, which gives the equation system,
+
Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung;
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 18: Zeile 18:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
If we eliminate ''y'' from this system, we get the following equation for ''x'',
+
Eliminieren Wir ''y'', und lösen die Gleichung für ''x'', erhalten wir die Schnittstellen
{{Abgesetzte Formel||<math>8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}</math>}}
-
If we move the <math>x^2</math>-terms onto one side and the constants onto the other, we obtain
+
oder
{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,,</math>}}
-
i.e.
+
also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 34: Zeile 34:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The ''x''-coordinates of the points of intersection are therefore equal to <math>x=-4</math> and <math>x=4\,</math>.
+
Also sind die Schnittstellen <math>x=-4</math> und <math>x=4\,</math>.
-
The area of the area between the curves is given by
+
Die Flche zwischen den Kurven ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 18:49, 28. Apr. 2009

Zuerst sehen wir in der Figur welches unseres Gebiet ist.

Die Kurven y=x24+2 und y=8−x28 sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat das Minimum y=2 wenn x=0, und die zweite das Maximum y=8 wenn x=0. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.

Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion y=8−x28 und die untere Grenze die Funktion y=x24+2. Bestimmen wir die Schnittstellen x=a und x=b der beiden Kurven, ist die Fläche

Area=ba8−81x2−41x2+2dx. 

Die Fläche ist der Integral des Unterschiedes zwischen den beiden Funktionen.

Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung;

yy=8−81x2=41x2+2.

Eliminieren Wir y, und lösen die Gleichung für x, erhalten wir die Schnittstellen

8−81x2=41x2+2.

oder

41x2+81x2=8−2

also ist

41+81x283x2x2=6=6=16.

Also sind die Schnittstellen x=−4 und x=4.

Die Flche zwischen den Kurven ist also

Area=4−48−81x2−41x2+2dx=4−48−81x2−41x2−2dx=4−46−81+41x2dx=4−46−83x2dx= 6x−833x3 4−4= 6x−8x3 4−4=64−843−6(−4)−8(−4)3=24−8+24−8=32.
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:4c“