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Lösung 2.3:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 2.3:1c moved to Lösung 2.3:1c: Robot: moved page)
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The integrand consists of two factors, so integration by parts is a plausible method. The most obvious thing to do is to choose <math>x^2</math> as the factor that we will differentiate and <math>\cos x</math> as the factor that we will integrate. Admittedly, the <math>x^2</math>-factor will not be differentiated away, but its exponent decreases by 1 and this makes the integral a little easier,
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Wählen wir unsere Faktoren so dass wir <math>x^2</math> ableiten und <math>\cos x</math> integrieren, erhalten wir ein Integral mit einen linearen Term statt einen quadratischen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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We can attack the integral on the right-hand side in the same way. Let <math>2x</math> be the factor that we differentiate and <math>\sin x</math> the factor that we integrate. This time, we have only one factor left,
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Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten <math>2x</math>ab, und integrieren <math>\sin x</math>.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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All in all, we obtain
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Alles in allem erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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For more difficult integrals, it is quite normal to have to work step by step before getting the final answer.
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'''Hinweis:''' Wenn man mehrere partielle Integrationen benötigt, rechnet man oft in Schritten bevor man die endgültige Antwort berechnet.

Version vom 15:53, 5. Mai 2009

Wählen wir unsere Faktoren so dass wir x2 ableiten und cosx integrieren, erhalten wir ein Integral mit einen linearen Term statt einen quadratischen.

x2cosxdx=x2sinx−2xsinxdx. 

Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten 2xab, und integrieren sinx.

2xsinxdx=2x(−cosx)−2(−cosx)dx=−2xcosx+2cosxdx=−2xcosx+2sinx+C.

Alles in allem erhalten wir

x2cosxdx=x2sinx−(−2xcosx+2sinx+C)=x2sinx+2xcosx−2sinx+C. 

Hinweis: Wenn man mehrere partielle Integrationen benötigt, rechnet man oft in Schritten bevor man die endgültige Antwort berechnet.

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