3.2 Polarform
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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- | + | Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche, und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche. | |
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- | | valign="top" |<small> | + | | valign="top" |<small>Alle Zahlen die -1 < Im ''z'' ≤ 2 erfüllen haben einen Imaginärteil der zwischen -1 und 2 liegt. Die untere Gerade ist geschattet, und dies bedeutet dass die Punkte auf dieser gerade nicht zum Gebiet. </small> |
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- | == | + | == Der Betrag komplexer Zahlen == |
- | + | Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, nachdem größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen. | |
- | + | Für komplexe Zahlen ist dies aber nicht möglich. Man kann die komplexen Zahlen nicht nach Größe ordnen. Zum Beispiel kann man nicht sagen ob <math>z=1-i</math> oder <math>w=-1+i</math> am größten ist. Mit den Begriff ''Betrag'' kann man aber einen Größenmaß auch für komplexe Zahlen einführen. | |
- | + | Für eine komplexe Zahl <math>z=a+ib</math> ist der Betrag <math>|\,z\,|</math> definiert wie <br\><br\> | |
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>|\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}</math>}}</div> | <div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>|\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}</math>}}</div> | ||
- | + | Wir sehen hier dass <math>|\,z\,|</math> eine reelle Zahl ist, und dass <math>|\,z\,|\ge 0</math>. Für eine reelle Zahl ist <math>b = 0</math> und daher ist <math>|\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|</math>, wie gewohnt. Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand vom Punkt <math>(0,0)</math> zu einer komplexen Zahl mit den Koordinaten <math>(a, b)</math>, durch das Gesetz des Pythagoras. | |
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<center>{{:3.2 - Bild - Der Betrag von z}}</center> | <center>{{:3.2 - Bild - Der Betrag von z}}</center> | ||
- | == | + | == Abstand zwischen komplexen Zahlen == |
- | + | Mit der Formen für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene, können wir den Abstand <math>s</math> zwischen zwei komplexen Zahlen <math>z=a+ib</math> und <math>w=c+id</math> (siehe Figur) mit der Abstandformel berechnen; | |
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}</math>}}</div> | <div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}</math>}}</div> | ||
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- | + | Nachdem <math>z-w=(a-c)+i(b-d)</math>, erhalten wir | |
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''' Beispiel 3''' | ''' Beispiel 3''' | ||
- | + | Zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene die folgende menge: | |
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- | + | Diese Ungleichung ist von allen Zahlen erfüllt, deren Abstand von der Zahl 2 geringer als 1 ist. Also ein Kreis mit den Mittelpunkt <math>z = 2</math> und den Radius 1.</li> | |
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- | + | Die linke Seite kann wie <math>|\,z-(-2+i)\,|</math> geschrieben werden, und also beschreibt die Ungleichung alle Zahlen deren Abstand zur Zahl <math>-2+i</math> geringer als 2 ist. Dies ist ein kreis mit den Radius 2 und den Mittelpunkt <math>-2+i</math>.</li> | |
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- | + | Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen deren Abstand zur Zahl <math>z=2+3i</math> zwishen <math>\frac{1}{2}</math> und <math>1</math> ist.</li> | |
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''' Beispiel 4''' | ''' Beispiel 4''' | ||
- | + | Zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgende (Un)gleichungen erfüllen: | |
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- | + | Die erste Ungleichung gibt dass die Zahlen im Kreis mit den Radius 3 un den Mittelpunkt <math>2i</math> liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen. | |
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<li><math>\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|</math> | <li><math>\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|</math> | ||
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- | + | Die Gleichung kann wie <math>|\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|</math> geschrieben werden. Also muss <math>z</math> denselben Abstand zu <math>-1</math> wie zu <math>2</math> haben. Diese Bedienung ist von allen Zahlen <math>z</math> erfüllt, die das Realteil <math>1/2</math> haben. | |
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||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet ∣z + 1∣ = ∣z - 2∣}} | ||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet ∣z + 1∣ = ∣z - 2∣}} | ||
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- | ||<small> | + | ||<small> Das geschattete Gebiet besteht aus den Punkten die die Ungleichungen |''z'' - 2i| ≤ 3 und 1 ≤ Re ''z'' ≤ 2 erfüllen.</small> |
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- | ||<small> | + | ||<small>Die Zahlen die |''z'' + 1| = |''z'' - 2| erfüllen, liegen auf der Gerade von Zahlen deren Realteil 1/2 ist.</small> |
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- | == | + | == Polarform == |
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Instead of representing a complex number <math>z=x+iy</math> by its rectangular coordinates <math>(x,y)</math> one can use polar coordinates. This means that one represents a numbers location in the complex plane by its distance <math>r</math> to the origin, and the angle <math>\alpha</math>, made by the positive real-line axis and the line from the origin to the number (see the figure). | Instead of representing a complex number <math>z=x+iy</math> by its rectangular coordinates <math>(x,y)</math> one can use polar coordinates. This means that one represents a numbers location in the complex plane by its distance <math>r</math> to the origin, and the angle <math>\alpha</math>, made by the positive real-line axis and the line from the origin to the number (see the figure). |
Version vom 16:34, 12. Mai 2009
Theorie | Übungen |
Inhalt:
- The complex plane
- Addition and subtraction in the complex plane
- Modulus and argument
- Polar form
- Multiplication and division in polar form
- Multiplication with i in the complex plane
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
- A geometric understanding of complex numbers and their arithmetic operations in the plane.
- To be able to convert the complex number between the form a + ib and polar form.
Die komplexe Zahlenebene
Nachdem eine komplexe Zahl \displaystyle z=a+bi aus einen Realteil \displaystyle a, und einen Imaginärteil \displaystyle b besteht, kann man eine komplexe Zahl \displaystyle z wie ein Zahlenpaar \displaystyle (a,b) in eine Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse winkelrecht zu einander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe zahle einen eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.
Diese geometrische Interpretation von den komplexen Zahlen nennt man die kompleze Zahlenebene.
Anmerkung: Die reellen Zahlen sind komplexe wo der Imaginärteil 0 ist, und die also auf der reellen Achse liegen. Daher kann man die Erweiterung der reellen Zahlen zu den Komplexen Zahlen so sehen dass man die Dimension der Zahlengerade zu einer Ebene erweitert.
Generell kann man komplexe Zahlen wie Vektoren behandeln.
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Geometrisch erhält man die Zahl z + w indem man den Vektor von 0 bis w parallel zu z verschiebt. | Die Subtraktion z - w kann wie z + (-w) geschrieben werden, und kann also geometrisch interpretiert also ob man den Vektor von 0 bis -w parallel bis z verschiebt. |
Beispiel 1
Mit \displaystyle z=2+i und \displaystyle w=-3-i, zeichnen Sie \displaystyle z, \displaystyle w, \displaystyle \overline{z}, \displaystyle \overline{z}-\overline{w} und \displaystyle z-w in der komplexen Zahlenebene.
We have that
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Notieren Sie dass die konjugiert komplexen Zahlen Spiegelbilder in der reellen Achse sind.
Beispiel 2
Zeichnen Sie alle Zahlen \displaystyle z in der komplexen Zahlenebene, die folgende Bedingungen erfüllen:
- \displaystyle \mathop{\rm Re} z \ge 3\,,
- \displaystyle -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2\,.
Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche, und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche.
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Alle Zahlen die Re z ≥ 3 erfüllen haben einen Realteil dass größer als to 3. | Alle Zahlen die -1 < Im z ≤ 2 erfüllen haben einen Imaginärteil der zwischen -1 und 2 liegt. Die untere Gerade ist geschattet, und dies bedeutet dass die Punkte auf dieser gerade nicht zum Gebiet. |
Der Betrag komplexer Zahlen
Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, nachdem größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen.
Für komplexe Zahlen ist dies aber nicht möglich. Man kann die komplexen Zahlen nicht nach Größe ordnen. Zum Beispiel kann man nicht sagen ob \displaystyle z=1-i oder \displaystyle w=-1+i am größten ist. Mit den Begriff Betrag kann man aber einen Größenmaß auch für komplexe Zahlen einführen.
Für eine komplexe Zahl \displaystyle z=a+ib ist der Betrag \displaystyle |\,z\,| definiert wie
\displaystyle |\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.} |
Wir sehen hier dass \displaystyle |\,z\,| eine reelle Zahl ist, und dass \displaystyle |\,z\,|\ge 0. Für eine reelle Zahl ist \displaystyle b = 0 und daher ist \displaystyle |\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|, wie gewohnt. Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand vom Punkt \displaystyle (0,0) zu einer komplexen Zahl mit den Koordinaten \displaystyle (a, b), durch das Gesetz des Pythagoras.
Abstand zwischen komplexen Zahlen
Mit der Formen für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene, können wir den Abstand \displaystyle s zwischen zwei komplexen Zahlen \displaystyle z=a+ib und \displaystyle w=c+id (siehe Figur) mit der Abstandformel berechnen;
\displaystyle s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.} |
Nachdem \displaystyle z-w=(a-c)+i(b-d), erhalten wir
Beispiel 3
Zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene die folgende menge:
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Beispiel 4
Zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgende (Un)gleichungen erfüllen:
- \displaystyle \, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.
Die erste Ungleichung gibt dass die Zahlen im Kreis mit den Radius 3 un den Mittelpunkt \displaystyle 2i liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen.
- \displaystyle \, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|
Die Gleichung kann wie \displaystyle |\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,| geschrieben werden. Also muss \displaystyle z denselben Abstand zu \displaystyle -1 wie zu \displaystyle 2 haben. Diese Bedienung ist von allen Zahlen \displaystyle z erfüllt, die das Realteil \displaystyle 1/2 haben.
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Das geschattete Gebiet besteht aus den Punkten die die Ungleichungen |z - 2i| ≤ 3 und 1 ≤ Re z ≤ 2 erfüllen. | Die Zahlen die |z + 1| = |z - 2| erfüllen, liegen auf der Gerade von Zahlen deren Realteil 1/2 ist. |
Polarform
Instead of representing a complex number \displaystyle z=x+iy by its rectangular coordinates \displaystyle (x,y) one can use polar coordinates. This means that one represents a numbers location in the complex plane by its distance \displaystyle r to the origin, and the angle \displaystyle \alpha, made by the positive real-line axis and the line from the origin to the number (see the figure).
Since \displaystyle \,\cos\alpha = x/r\, and \displaystyle \,\sin\alpha = y/r\, then \displaystyle \,x = r\cos\alpha\, and \displaystyle \,y= r\sin\alpha. The number \displaystyle z=x+iy can be written as
\displaystyle z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{,} |
which is called the polar form of a complex number \displaystyle z. The angle \displaystyle \alpha is called the argument of \displaystyle z and is written
\displaystyle \alpha=\arg\,z\,\mbox{.} |
The angle \displaystyle \alpha, for example, can be determined by solving the equation \displaystyle \tan\alpha=y/x. This equation, however, has a number of solutions, so we must ensure that we choose the solution \displaystyle \alpha that allows \displaystyle z= r(\cos\alpha + i\sin\alpha) to end up in the correct quadrant.
The argument of a complex number is not uniquely determined because angles that differ by \displaystyle 2\pi indicate the same direction in the complex plane. Normally, one uses for the argument the angle between 0 and \displaystyle 2\pi or between \displaystyle -\pi and \displaystyle \pi.
The real number \displaystyle r, the distance to the origin as we have already seen, is the absolute value of \displaystyle z,
\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|\,\mbox{.} |
Beispiel 5
Write the following complex numbers in polar form:
- \displaystyle \,\,-3
We have that \displaystyle |\,-3\,|=3 and \displaystyle \arg (-3)=\pi, which means that \displaystyle \ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi). - \displaystyle \,i
We have that \displaystyle |\,i\,|=1 and \displaystyle \arg i = \pi/2 which in polar form is \displaystyle \ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,. - \displaystyle \,1-i
The formula for a the absolute value of a complex number gives \displaystyle |\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. The complex number lies in the fourth quadrant and has an angle \displaystyle \pi/4 with the positive real axis, which gives \displaystyle \arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4. Thus \displaystyle \ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr). - \displaystyle \,2\sqrt{3}+2i
The absolute value is the easiest to calculate\displaystyle |\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.} If we call the argument \displaystyle \alpha then it satisfies the relationship
\displaystyle \tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} and since the number is in the first quadrant (positive real and imaginary parts) one gets \displaystyle \alpha=\pi/6 and we have that
\displaystyle 2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}
Multiplication and division of polar forms
The big advantage of having the complex numbers written in polar form is that multiplication and division then becomes very easy to perform. For arbitrary complex numbers \displaystyle z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha) and \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta), it can be shown using the trigonometric formulas for addition that
\displaystyle \begin{align*}z\, w&=|\,z\,|\,|\,w\,|\,\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\,\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{w}&=\frac{|z|}{|w|}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\,\sin(\alpha-\beta)\bigr)\,\mbox{.}\end{align*} |
When multiplying complex numbers, the absolute values are multiplied, while the arguments are added. For division of complex numbers, absolute values are divided and the arguments subtracted. This can be summarised as:
\displaystyle |\,z\, w\,|=|\,z\,|\, |\,w\,|\quad \mbox{and}\quad \arg(z\, w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,} |
\displaystyle \Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ and}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.} |
In the complex plane this means that multiplication of \displaystyle z with \displaystyle w causes \displaystyle z to be stretched by a factor \displaystyle |\,w\,| and rotated anticlockwise by an angle \displaystyle \arg\,w.
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Beispiel 6
Simplify the following expressions by writing them in polar form:
- \displaystyle \Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/
\Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)
We write the numerator and denominator in polar form\displaystyle \begin{align*}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\times\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\times\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align*} and it follows that
\displaystyle \begin{align*}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align*} - \displaystyle (-2-2i)(1+i)
The factors in the expression are written in polar form\displaystyle \begin{align*}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*} Multiplication in polar form gives
\displaystyle \begin{align*}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \times \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align*}
Beispiel 7
- Simplify \displaystyle iz and \displaystyle \frac{z}{i} if \displaystyle \ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Bigr). Antwort in polar form.
Since \displaystyle \ i=1\times \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ it follows that\displaystyle \begin{align*} iz &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*} - Simplify \displaystyle iz and \displaystyle \frac{z}{i} if \displaystyle \ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)\,. Antwort in polar form.
Rewriting \displaystyle i in polar form gives\displaystyle \begin{align*} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}
We see that multiplying by i leads to an anticlockwise rotation \displaystyle \pi/2, while division with i results in a clockwise rotation \displaystyle \pi/2.
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Complex numbers z, iz and z/i when |z| = 2 and arg z = π/6. | Complex numbers z, iz and z/i when |z| = 3 and arg z = 7π/4. |