3.2 Polarform

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche, und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche.
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The first inequality defines the region in the figure on the left below, and the second inequality defines the region in the figure on the right below.
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||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet -1 kleiner als Im z ≤ 2}}
||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet -1 kleiner als Im z ≤ 2}}
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| valign="top" |<small> All the numbers that satisfy Re&nbsp;''z''&nbsp;≥&nbsp;3 have a real part that is greater than or equal to&nbsp;3. These figures form the shaded semi-plane in the figure. </small>
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| valign="top" |<small> Alle Zahlen die Re&nbsp;''z''&nbsp;≥&nbsp;3 erfüllen haben einen Realteil dass größer als to&nbsp;3. </small>
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| valign="top" |<small>Numbers that satisfy -1&nbsp;<&nbsp;Im&nbsp;''z''&nbsp;≤&nbsp;2 have an imaginary part that is between&nbsp;-1 and&nbsp;2. These numbers are therefore in the ribbon-like region marked in the figure. The lower horizontal line is dotted and that means that points on that line do not belong to the shaded region. </small>
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| valign="top" |<small>Alle Zahlen die -1&nbsp;<&nbsp;Im&nbsp;''z''&nbsp;≤&nbsp;2 erfüllen haben einen Imaginärteil der zwischen &nbsp;-1 und&nbsp;2 liegt. Die untere Gerade ist geschattet, und dies bedeutet dass die Punkte auf dieser gerade nicht zum Gebiet. </small>
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== Absolute value ==
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== Der Betrag komplexer Zahlen ==
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The real numbers can be arranged in order of magnitude; that is, we can determine whether one real number is greater than another, which is the same as determining whether it lies further to the right on the real number line.
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Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, nachdem größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen.
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For the complex numbers this is not possible. We cannot decide which is the larger of, say, <math>z=1-i</math> and <math>w=-1+i</math> . With the help of the concept of ''absolute value'' however, we can define a measure of the size of a complex number.
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Für komplexe Zahlen ist dies aber nicht möglich. Man kann die komplexen Zahlen nicht nach Größe ordnen. Zum Beispiel kann man nicht sagen ob <math>z=1-i</math> oder <math>w=-1+i</math> am größten ist. Mit den Begriff ''Betrag'' kann man aber einen Größenmaß auch für komplexe Zahlen einführen.
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For a complex number <math>z=a+ib</math> the absolute value or modulus <math>|\,z\,|</math> is defined as <br\><br\>
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Für eine komplexe Zahl <math>z=a+ib</math> ist der Betrag <math>|\,z\,|</math> definiert wie <br\><br\>
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>|\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}</math>}}</div>
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>|\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}</math>}}</div>
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We see that <math>|\,z\,|</math> is a real number, and that <math>|\,z\,|\ge 0</math>. For a real number <math>b = 0</math> and then <math>|\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|</math>, which is consistent with the usual definition of an absolute value (or modulus) of a real number. Geometrically the absolute value is the distance from the number <math>z=a+ib</math> (the point <math>(a, b)</math>) to <math>z = 0</math> (origin), according to Pythagoras' theorem.
+
Wir sehen hier dass <math>|\,z\,|</math> eine reelle Zahl ist, und dass <math>|\,z\,|\ge 0</math>. Für eine reelle Zahl ist <math>b = 0</math> und daher ist <math>|\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|</math>, wie gewohnt. Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand vom Punkt <math>(0,0)</math> zu einer komplexen Zahl mit den Koordinaten <math>(a, b)</math>, durch das Gesetz des Pythagoras.
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<center>{{:3.2 - Bild - Der Betrag von z}}</center>
<center>{{:3.2 - Bild - Der Betrag von z}}</center>
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== Distance between complex numbers ==
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== Abstand zwischen komplexen Zahlen ==
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With the help of the formula for the distance between points in a coordinate system one can obtain an important and useful interpretation of the absolute value. The distance <math>s</math> between the two complex numbers <math>z=a+ib</math> and <math>w=c+id</math> (see fig.) can with the help of the formula for distance be written as
+
Mit der Formen für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene, können wir den Abstand <math>s</math> zwischen zwei komplexen Zahlen <math>z=a+ib</math> und <math>w=c+id</math> (siehe Figur) mit der Abstandformel berechnen;
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}</math>}}</div>
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}</math>}}</div>
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Since <math>z-w=(a-c)+i(b-d)</math>, one gets
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Nachdem <math>z-w=(a-c)+i(b-d)</math>, erhalten wir
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<center><math>|\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}</math> distance between the numbers <math>z</math> and <math>w</math>.</center>
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<center><math>|\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}</math> der Abstand zwischen <math>z</math> und <math>w</math>.</center>
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''' Beispiel 3'''
''' Beispiel 3'''
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Zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene die folgende menge:
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Indicate the following sets in the complex plane:
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{| width="100%"
{| width="100%"
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The equation describes all numbers whose distance to the origin is 2. These numbers describe in the complex plane a circle with radius 2 and its centre at the origin. </li>
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Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen die den Abstand 2 zum Punkt <math>(0,0)</math> haben. Die Gleichung beschreibt also einen Kreis mit den Mittelpunkt <math>(0,0)</math> und den Radius 2.
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</li>
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This equation is satisfied by all the numbers, whose distance from the number 2 is equal to 1, i.e. a circle of radius 1 and with its centre at <math>z = 2</math>.</li>
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Diese Ungleichung ist von allen Zahlen erfüllt, deren Abstand von der Zahl 2 geringer als 1 ist. Also ein Kreis mit den Mittelpunkt <math>z = 2</math> und den Radius 1.</li>
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The left-hand side can be written <math>|\,z-(-2+i)\,|</math>, which means all the numbers at a distance <math>{}\le 2</math> from the number <math>-2+i</math>, that is a circular disc a with a radius of 2 and its centre at <math>-2+i</math>.</li>
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Die linke Seite kann wie <math>|\,z-(-2+i)\,|</math> geschrieben werden, und also beschreibt die Ungleichung alle Zahlen deren Abstand zur Zahl <math>-2+i</math> geringer als 2 ist. Dies ist ein kreis mit den Radius 2 und den Mittelpunkt <math>-2+i</math>.</li>
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The set is given by any number whose distance from <math>z=2+3i</math> is between <math>\frac{1}{2}</math> and <math>1</math>.</li>
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Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen deren Abstand zur Zahl <math>z=2+3i</math> zwishen <math>\frac{1}{2}</math> und <math>1</math> ist.</li>
</ol>
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''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
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Zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgende (Un)gleichungen erfüllen:
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Indicate in the complex plane all numbers <math>z</math> satisfying the following conditions:
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The first inequality gives the points on and inside a circle with radius 3 and center at <math>2i</math>. The second inequality is a vertical strip of points with their real part between 1 and 2. The area satisfying both inequalities is given by the points which lie both within the circle and within the strip.
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Die erste Ungleichung gibt dass die Zahlen im Kreis mit den Radius 3 un den Mittelpunkt <math>2i</math> liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen.
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</li>
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<li><math>\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|</math>
<li><math>\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|</math>
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The equation can be written as <math>|\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|</math>. This shows then that <math>z</math> should be at an equal distance from <math>-1</math> and <math>2</math>. This condition is met by all the numbers <math>z</math> that have a real part <math>1/2</math>.
+
Die Gleichung kann wie <math>|\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|</math> geschrieben werden. Also muss <math>z</math> denselben Abstand zu <math>-1</math> wie zu <math>2</math> haben. Diese Bedienung ist von allen Zahlen <math>z</math> erfüllt, die das Realteil <math>1/2</math> haben.
</li>
</li>
</ol>
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||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet ∣z + 1∣ = ∣z - 2∣}}
||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet ∣z + 1∣ = ∣z - 2∣}}
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||<small> The shaded region consists of the points that satisfy the inequalities |''z''&nbsp;- 2i|&nbsp;≤&nbsp;3 and 1&nbsp;≤ Re&nbsp;''z''&nbsp;≤&nbsp;2.</small>
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||<small> Das geschattete Gebiet besteht aus den Punkten die die Ungleichungen |''z''&nbsp;- 2i|&nbsp;≤&nbsp;3 und 1&nbsp;≤ Re&nbsp;''z''&nbsp;≤&nbsp;2 erfüllen.</small>
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||<small>The points that satisfy the equation |''z''&nbsp;+ 1|&nbsp;= |''z''&nbsp;- 2| lie on the line with real part equal to 1/2.</small>
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||<small>Die Zahlen die |''z''&nbsp;+ 1|&nbsp;= |''z''&nbsp;- 2| erfüllen, liegen auf der Gerade von Zahlen deren Realteil 1/2 ist.</small>
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== Polar form ==
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== Polarform ==
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Instead of representing a complex number <math>z=x+iy</math> by its rectangular coordinates <math>(x,y)</math> one can use polar coordinates. This means that one represents a numbers location in the complex plane by its distance <math>r</math> to the origin, and the angle <math>\alpha</math>, made by the positive real-line axis and the line from the origin to the number (see the figure).
Instead of representing a complex number <math>z=x+iy</math> by its rectangular coordinates <math>(x,y)</math> one can use polar coordinates. This means that one represents a numbers location in the complex plane by its distance <math>r</math> to the origin, and the angle <math>\alpha</math>, made by the positive real-line axis and the line from the origin to the number (see the figure).

Version vom 16:34, 12. Mai 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • The complex plane
  • Addition and subtraction in the complex plane
  • Modulus and argument
  • Polar form
  • Multiplication and division in polar form
  • Multiplication with i in the complex plane

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • A geometric understanding of complex numbers and their arithmetic operations in the plane.
  • To be able to convert the complex number between the form a + ib and polar form.

Die komplexe Zahlenebene

Nachdem eine komplexe Zahl \displaystyle z=a+bi aus einen Realteil \displaystyle a, und einen Imaginärteil \displaystyle b besteht, kann man eine komplexe Zahl \displaystyle z wie ein Zahlenpaar \displaystyle (a,b) in eine Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse winkelrecht zu einander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe zahle einen eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.


[Image]

Diese geometrische Interpretation von den komplexen Zahlen nennt man die kompleze Zahlenebene.


Anmerkung: Die reellen Zahlen sind komplexe wo der Imaginärteil 0 ist, und die also auf der reellen Achse liegen. Daher kann man die Erweiterung der reellen Zahlen zu den Komplexen Zahlen so sehen dass man die Dimension der Zahlengerade zu einer Ebene erweitert.

Generell kann man komplexe Zahlen wie Vektoren behandeln.


[Image]

[Image]

Geometrisch erhält man die Zahl z + w indem man den Vektor von 0 bis w parallel zu z verschiebt. Die Subtraktion z - w kann wie z + (-w) geschrieben werden, und kann also geometrisch interpretiert also ob man den Vektor von 0 bis -w parallel bis z verschiebt.

Beispiel 1


Mit \displaystyle z=2+i und \displaystyle w=-3-i, zeichnen Sie \displaystyle z, \displaystyle w, \displaystyle \overline{z}, \displaystyle \overline{z}-\overline{w} und \displaystyle z-w in der komplexen Zahlenebene.

We have that
  • \displaystyle \overline{z}=2-i\,,
  • \displaystyle \overline{w}=-3+i\,,
  • \displaystyle z-w=2+i-(-3-i)
    \displaystyle \phantom{z-w}{}=5+2i\,,
  • \displaystyle \overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)
    \displaystyle \phantom{\overline{z} -\overline{w}}{}=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})\,.

[Image]

Notieren Sie dass die konjugiert komplexen Zahlen Spiegelbilder in der reellen Achse sind.

Beispiel 2

Zeichnen Sie alle Zahlen \displaystyle z in der komplexen Zahlenebene, die folgende Bedingungen erfüllen:

  1. \displaystyle \mathop{\rm Re} z \ge 3\,,
  2. \displaystyle -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2\,.

Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche, und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche.


[Image]

[Image]

Alle Zahlen die Re z ≥ 3 erfüllen haben einen Realteil dass größer als to 3. Alle Zahlen die -1 < Im z ≤ 2 erfüllen haben einen Imaginärteil der zwischen  -1 und 2 liegt. Die untere Gerade ist geschattet, und dies bedeutet dass die Punkte auf dieser gerade nicht zum Gebiet.


Der Betrag komplexer Zahlen

Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, nachdem größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen.

Für komplexe Zahlen ist dies aber nicht möglich. Man kann die komplexen Zahlen nicht nach Größe ordnen. Zum Beispiel kann man nicht sagen ob \displaystyle z=1-i oder \displaystyle w=-1+i am größten ist. Mit den Begriff Betrag kann man aber einen Größenmaß auch für komplexe Zahlen einführen.


Für eine komplexe Zahl \displaystyle z=a+ib ist der Betrag \displaystyle |\,z\,| definiert wie

\displaystyle |\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}

Wir sehen hier dass \displaystyle |\,z\,| eine reelle Zahl ist, und dass \displaystyle |\,z\,|\ge 0. Für eine reelle Zahl ist \displaystyle b = 0 und daher ist \displaystyle |\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|, wie gewohnt. Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand vom Punkt \displaystyle (0,0) zu einer komplexen Zahl mit den Koordinaten \displaystyle (a, b), durch das Gesetz des Pythagoras.

[Image]


Abstand zwischen komplexen Zahlen

Mit der Formen für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene, können wir den Abstand \displaystyle s zwischen zwei komplexen Zahlen \displaystyle z=a+ib und \displaystyle w=c+id (siehe Figur) mit der Abstandformel berechnen;

\displaystyle s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}

[Image]


Nachdem \displaystyle z-w=(a-c)+i(b-d), erhalten wir

\displaystyle |\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={} der Abstand zwischen \displaystyle z und \displaystyle w.


Beispiel 3

Zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene die folgende menge:

  1. \displaystyle \,\, |\,z\,|=2

    Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen die den Abstand 2 zum Punkt \displaystyle (0,0) haben. Die Gleichung beschreibt also einen Kreis mit den Mittelpunkt \displaystyle (0,0) und den Radius 2.

[Image]

  1. \displaystyle \,\, |\,z-2\,|=1

    Diese Ungleichung ist von allen Zahlen erfüllt, deren Abstand von der Zahl 2 geringer als 1 ist. Also ein Kreis mit den Mittelpunkt \displaystyle z = 2 und den Radius 1.

[Image]

  1. \displaystyle \,\, |\,z+2-i\,|\le 2

    Die linke Seite kann wie \displaystyle |\,z-(-2+i)\,| geschrieben werden, und also beschreibt die Ungleichung alle Zahlen deren Abstand zur Zahl \displaystyle -2+i geringer als 2 ist. Dies ist ein kreis mit den Radius 2 und den Mittelpunkt \displaystyle -2+i.

[Image]

  1. \displaystyle \,\, \frac{1}{2}\le |\,z-(2+3i)\,|\le 1

    Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen deren Abstand zur Zahl \displaystyle z=2+3i zwishen \displaystyle \frac{1}{2} und \displaystyle 1 ist.

[Image]

Beispiel 4

Zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgende (Un)gleichungen erfüllen:


  1. \displaystyle \, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.

    Die erste Ungleichung gibt dass die Zahlen im Kreis mit den Radius 3 un den Mittelpunkt \displaystyle 2i liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen.
  2. \displaystyle \, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|

    Die Gleichung kann wie \displaystyle |\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,| geschrieben werden. Also muss \displaystyle z denselben Abstand zu \displaystyle -1 wie zu \displaystyle 2 haben. Diese Bedienung ist von allen Zahlen \displaystyle z erfüllt, die das Realteil \displaystyle 1/2 haben.

[Image]

[Image]

Das geschattete Gebiet besteht aus den Punkten die die Ungleichungen |z - 2i| ≤ 3 und 1 ≤ Re z ≤ 2 erfüllen. Die Zahlen die |z + 1| = |z - 2| erfüllen, liegen auf der Gerade von Zahlen deren Realteil 1/2 ist.


Polarform

Instead of representing a complex number \displaystyle z=x+iy by its rectangular coordinates \displaystyle (x,y) one can use polar coordinates. This means that one represents a numbers location in the complex plane by its distance \displaystyle r to the origin, and the angle \displaystyle \alpha, made by the positive real-line axis and the line from the origin to the number (see the figure).

[Image]


Since \displaystyle \,\cos\alpha = x/r\, and \displaystyle \,\sin\alpha = y/r\, then \displaystyle \,x = r\cos\alpha\, and \displaystyle \,y= r\sin\alpha. The number \displaystyle z=x+iy can be written as

\displaystyle z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{,}

which is called the polar form of a complex number \displaystyle z. The angle \displaystyle \alpha is called the argument of \displaystyle z and is written

\displaystyle \alpha=\arg\,z\,\mbox{.}

The angle \displaystyle \alpha, for example, can be determined by solving the equation \displaystyle \tan\alpha=y/x. This equation, however, has a number of solutions, so we must ensure that we choose the solution \displaystyle \alpha that allows \displaystyle z= r(\cos\alpha + i\sin\alpha) to end up in the correct quadrant.

The argument of a complex number is not uniquely determined because angles that differ by \displaystyle 2\pi indicate the same direction in the complex plane. Normally, one uses for the argument the angle between 0 and \displaystyle 2\pi or between \displaystyle -\pi and \displaystyle \pi.


The real number \displaystyle r, the distance to the origin as we have already seen, is the absolute value of \displaystyle z,

\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|\,\mbox{.}

Beispiel 5


Write the following complex numbers in polar form:

  1. \displaystyle \,\,-3

    We have that \displaystyle |\,-3\,|=3 and \displaystyle \arg (-3)=\pi, which means that \displaystyle \ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi).
  2. \displaystyle \,i

    We have that \displaystyle |\,i\,|=1 and \displaystyle \arg i = \pi/2 which in polar form is \displaystyle \ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,.
  3. \displaystyle \,1-i

    The formula for a the absolute value of a complex number gives \displaystyle |\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. The complex number lies in the fourth quadrant and has an angle \displaystyle \pi/4 with the positive real axis, which gives \displaystyle \arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4. Thus \displaystyle \ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr).
  4. \displaystyle \,2\sqrt{3}+2i

    The absolute value is the easiest to calculate
    \displaystyle |\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}

    If we call the argument \displaystyle \alpha then it satisfies the relationship

    \displaystyle \tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

    and since the number is in the first quadrant (positive real and imaginary parts) one gets \displaystyle \alpha=\pi/6 and we have that

    \displaystyle 2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}

[Image]


Multiplication and division of polar forms

The big advantage of having the complex numbers written in polar form is that multiplication and division then becomes very easy to perform. For arbitrary complex numbers \displaystyle z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha) and \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta), it can be shown using the trigonometric formulas for addition that

\displaystyle \begin{align*}z\, w&=|\,z\,|\,|\,w\,|\,\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\,\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{w}&=\frac{|z|}{|w|}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\,\sin(\alpha-\beta)\bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

When multiplying complex numbers, the absolute values are multiplied, while the arguments are added. For division of complex numbers, absolute values are divided and the arguments subtracted. This can be summarised as:

\displaystyle |\,z\, w\,|=|\,z\,|\, |\,w\,|\quad \mbox{and}\quad \arg(z\, w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,}
\displaystyle \Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ and}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.}

In the complex plane this means that multiplication of \displaystyle z with \displaystyle w causes \displaystyle z to be stretched by a factor \displaystyle |\,w\,| and rotated anticlockwise by an angle \displaystyle \arg\,w.


[Image]

[Image]


Beispiel 6


Simplify the following expressions by writing them in polar form:

  1. \displaystyle \Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)

    We write the numerator and denominator in polar form
    \displaystyle \begin{align*}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\times\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\times\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align*}

    and it follows that

    \displaystyle \begin{align*}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align*}

  2. \displaystyle (-2-2i)(1+i)

    The factors in the expression are written in polar form
    \displaystyle \begin{align*}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

    Multiplication in polar form gives

    \displaystyle \begin{align*}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \times \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 7


  1. Simplify \displaystyle iz and \displaystyle \frac{z}{i} if \displaystyle \ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Bigr). Antwort in polar form.

    Since \displaystyle \ i=1\times \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ it follows that
    \displaystyle \begin{align*} iz &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

  2. Simplify \displaystyle iz and \displaystyle \frac{z}{i} if \displaystyle \ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)\,. Antwort in polar form.

    Rewriting \displaystyle i in polar form gives
    \displaystyle \begin{align*} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

We see that multiplying by i leads to an anticlockwise rotation \displaystyle \pi/2, while division with i results in a clockwise rotation \displaystyle \pi/2.

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Complex numbers z, iz and z/i when |z| = 2 and arg z = π/6. Complex numbers z, iz and z/i when |z| = 3 and arg z = 7π/4.