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Lösung 1.3:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
-
# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
+
# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-
# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
+
# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
# Endpunkte.
# Endpunkte.
-
Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall ableitbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
+
Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
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Die stationären Punkte erhalten wir wenn wir die Ableitung
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Die stationären Punkte erhalten wir mitden Nullstellen der Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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also null setzen.
 
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Von der Gleichung im letzten Schritt, sehen wir dass die Ableitung null ist wenn einer der Faktoren null ist.
+
 
 +
Im letzten Schritt, sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0</math>}}
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und wir erhalten
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und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 = 0</math>}}
Zeile 32: Zeile 32:
diese Gleichung hat die Wurzel <math>x=3</math>.
diese Gleichung hat die Wurzel <math>x=3</math>.
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Also hat die Gleichung der Ableitung die beiden Wurzeln <math>x=0</math> und <math>x=3</math>.
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Also hat Ableitung die Nullstellen <math>x=0</math> und <math>x=3</math>.
Nachdem die Ableitung
Nachdem die Ableitung
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|}
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Hier sehen wir dass <math>x=0</math> ein lokales Minima ist, und dass <math>x=3</math> ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).
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Hier sehen wir dass <math>x=0</math> ein lokales Minimum ist, und dass <math>x=3</math> ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).

Version vom 09:58, 5. Aug. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, mit f(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

Die stationären Punkte erhalten wir mitden Nullstellen der Ableitung

f(x)=−4x3+83x2−182x=−4x3+24x2−36x=−4x(x2−6x+9)


Im letzten Schritt, sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

x2−6x+9=0.

Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung,

(x−3)2−32+9=0

und erhalten

(x−3)2=0

diese Gleichung hat die Wurzel x=3.

Also hat Ableitung die Nullstellen x=0 und x=3.

Nachdem die Ableitung

f(x)=−4x(x−3)2

ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren −4x und (x−3)2.

x 0 3
−4x + 0 − − −
(x−3)2 + + + 0 +

Mit den Rechenregeln ++=+, −+=− und −−=+ für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:

x 0 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 0 \displaystyle \searrow \displaystyle -27 \displaystyle \searrow

Hier sehen wir dass \displaystyle x=0 ein lokales Minimum ist, und dass \displaystyle x=3 ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).

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