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Lösung 1.2:3f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{NAVCONTENT_START}}
+
Es gibt keine Regel, um die Funktion direkt abzuleiten. Stattdessen verwenden wir die Regel
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<center> [[Image:1_2_3f.gif]] </center>
+
 
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>a^b = e^{\ln a^b} = e^{b\ln a}\,.</math>}}
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Das ergibt
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^{\tan x} = e^{\tan x\cdot\ln x}\,\textrm{.}</math>|(*)}}
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Jetzt leiten wir die Funktion mit der Kettenregel ab
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}} = {}\rlap{e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}\bigr)'}\phantom{e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)}</math>}}
 +
 
 +
und verwenden die Faktorregel
 +
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\phantom{\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}}{}
 +
&= e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)\\[5pt]
 +
&= e^{\tan x\cdot\ln x}\Bigl(\frac{1}{\cos^2\!x}\cdot\ln x + \tan x\cdot\frac{1}{x} \Bigr)\\[5pt]
 +
&= e^{\tan x\cdot\ln x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2\!x} + \frac{\tan x}{x}\Bigr)\\[5pt]
 +
&= x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2\!x} + \frac{\tan x}{x}\Bigr)\,,
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
wobei wir (*) rückwärts verwendet haben.

Aktuelle Version

Es gibt keine Regel, um die Funktion direkt abzuleiten. Stattdessen verwenden wir die Regel

ab=elnab=eblna

Das ergibt

xtanx=etanxlnx. (*)

Jetzt leiten wir die Funktion mit der Kettenregel ab

ddxetanxlnx=etanxlnxtanxlnx 

und verwenden die Faktorregel

=etanxlnx(tanx)lnx+tanx(lnx)=etanxlnx1cos2xlnx+tanxx1=etanxlnxlnxcos2x+xtanx=xtanxlnxcos2x+xtanx

wobei wir (*) rückwärts verwendet haben.

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