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Lösung 1.3:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
# Endpunkte.
# Endpunkte.
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Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
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Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
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Die stationären Punkte erhalten wir mitden Nullstellen der Ableitung
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Die stationären Punkte erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Im letzten Schritt sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.
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Im letzten Schritt, sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung,
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Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0</math>}}
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und erhalten
und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 = 0</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 = 0\,.</math>}}
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diese Gleichung hat die Wurzel <math>x=3</math>.
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Diese Gleichung hat die Wurzel <math>x=3</math>.
Also hat Ableitung die Nullstellen <math>x=0</math> und <math>x=3</math>.
Also hat Ableitung die Nullstellen <math>x=0</math> und <math>x=3</math>.
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Hier sehen wir dass <math>x=0</math> ein lokales Minimum ist, und dass <math>x=3</math> ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).
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Hier sehen wir, dass <math>x=0</math> ein lokales Minimum ist, und dass <math>x=3</math> ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).

Version vom 13:30, 20. Aug. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte mit f(x)=0,
  2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

Die stationären Punkte erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung.

f(x)=−4x3+83x2−182x=−4x3+24x2−36x=−4x(x2−6x+9)


Im letzten Schritt sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

x2−6x+9=0.

Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung

(x−3)2−32+9=0

und erhalten

(x−3)2=0

Diese Gleichung hat die Wurzel x=3.

Also hat Ableitung die Nullstellen x=0 und x=3.

Nachdem die Ableitung

f(x)=−4x(x−3)2

ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren −4x und (x−3)2.

x 0 3
−4x + 0 − − −
(x−3)2 + + + 0 +

Mit den Rechenregeln ++=+, −+=− und −−=+ für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:

x 0 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 0 \displaystyle \searrow \displaystyle -27 \displaystyle \searrow

Hier sehen wir, dass \displaystyle x=0 ein lokales Minimum ist, und dass \displaystyle x=3 ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).

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