Lösung 2.1:2a - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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			Lösung 2.1:2a
			
			  Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
			  (Unterschied zwischen Versionen)
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- {{NAVCONTENT_STOP}} + Da unser Integrand in der Form <math>x^n</math> ist, können wir die Regel
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  + für jeden Term benutzen.
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}</math>}}
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  + Der Wert des Integrals ist daher
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + \int\limits_{0}^{2} \bigl( x^2+3x^3\bigr)\,dx
  + &= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} + 3\cdot\frac{x^4}{4}\Bigr]_0^2\\ 
  + &= \frac{2^3}{3} + 3\cdot\frac{2^4}{4} - \Bigl(\frac{0^3}{3} + 3\cdot\frac{0^4}{4} \Bigr)\\[5pt]
  + &= \frac{8}{3} + \frac{3\cdot 16}{4}\\[5pt]
  + &= \frac{44}{3}\,\textrm{.} 
  + \end{align}</math>}}
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  +  
  + Hinweis: Wir können testen ob <math>F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4</math> eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir <math>F(x)</math> ableiten
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt] 
  + &= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt]
  + &= x^2+3x^3\,\textrm{.} 
  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.
Da unser Integrand in der Form xn ist, können wir die Regel





xndx=xn+1n+1+C 


für jeden Term benutzen.





F(x)=x2+12+1+3x3+13+1


Der Wert des Integrals ist daher





20x2+3x3dx= 3x3+34x420=323+3424−303+3404=38+4316=344. 



Hinweis: Wir können testen ob F(x)=31x3+43x4 eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir F(x) ableiten





F(x)=31x3+43x4=313x2+434x3=x2+3x3. 


Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:2a“
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-{{NAVCONTENT_START}}
+Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.
-<center> [[Image:2_1_2a-1(2).gif]] </center>
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+Da unser Integrand in der Form <math>x^n</math> ist, können wir die Regel
-{{NAVCONTENT_START}}
-<center> [[Image:2_1_2a-2(2).gif]] </center>
+{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>}}
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+für jeden Term benutzen.
+{{Abgesetzte Formel||<math>F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}</math>}}
+Der Wert des Integrals ist daher
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\int\limits_{0}^{2} \bigl( x^2+3x^3\bigr)\,dx
+&= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} + 3\cdot\frac{x^4}{4}\Bigr]_0^2\\
+&= \frac{2^3}{3} + 3\cdot\frac{2^4}{4} - \Bigl(\frac{0^3}{3} + 3\cdot\frac{0^4}{4} \Bigr)\\[5pt]
+&= \frac{8}{3} + \frac{3\cdot 16}{4}\\[5pt]
+&= \frac{44}{3}\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
+Hinweis: Wir können testen ob <math>F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4</math> eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir <math>F(x)</math> ableiten
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt]
+&= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt]
+&= x^2+3x^3\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 xndx=xn+1n+1+C
 F(x)=x2+12+1+3x3+13+1
 x2+3x3dx= 3x3+34x420=323+3424−303+3404=38+4316=344.
 F(x)=31x3+43x4=313x2+434x3=x2+3x3.