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Lösung 2.1:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The foremost difficulty with calculating an integral is finding a primitive function of the integrand. Once we have done that, the integral is calculated as the difference between the primitive function's values in the upper and lower limits of integration.
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Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.
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The integrand in our case consists of two terms in the form
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Da unser Integrand in der Form <math>x^n</math> ist, können wir die Regel
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<math>x^{n}</math>, and so we can use the rule
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>}}
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<math>\int{x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}}+C</math>
+
für jeden Term benutzen.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}</math>}}
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on the terms individually to obtain that
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Der Wert des Integrals ist daher
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int\limits_{0}^{2} \bigl( x^2+3x^3\bigr)\,dx
 +
&= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} + 3\cdot\frac{x^4}{4}\Bigr]_0^2\\
 +
&= \frac{2^3}{3} + 3\cdot\frac{2^4}{4} - \Bigl(\frac{0^3}{3} + 3\cdot\frac{0^4}{4} \Bigr)\\[5pt]
 +
&= \frac{8}{3} + \frac{3\cdot 16}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{44}{3}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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<math>F\left( x \right)=\frac{x^{2+1}}{2+1}+3\centerdot \frac{x^{3+1}}{3+1}</math>
 
 +
Hinweis: Wir können testen ob <math>F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4</math> eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir <math>F(x)</math> ableiten
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is a primitive function of the integrand.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt]
-
The integrand's value is thus
+
&= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt]
-
 
+
&= x^2+3x^3\,\textrm{.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
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<math>\begin{align}
+
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& \int\limits_{0}^{2}{\left( x^{2}+3x^{3} \right)}\,dx=\left[ \frac{x^{3}}{3}+3\centerdot \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{2} \\
+
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& =\frac{2^{3}}{3}+3\centerdot \frac{2^{4}}{4}-\left( \frac{0^{3}}{3}+3\centerdot \frac{0^{4}}{4} \right) \\
+
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& =\frac{8}{3}+\frac{3\centerdot 16}{4}=\frac{44}{3} \\
+
-
\end{align}</math>
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NOTE: One way to check that
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<math>F\left( x \right)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{4}x^{4}</math>
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is a primitive function of the integral is to differentiate
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<math>F\left( x \right)</math>
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and to see that we obtain
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<math>\begin{align}
+
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& {F}'\left( x \right)=\frac{1}{3}\left( x^{3} \right)^{\prime }+\frac{3}{4}\left( x^{4} \right)^{\prime } \\
+
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& =\frac{1}{3}\centerdot 3x^{2}+\frac{3}{4}\centerdot 4x^{3}=x^{2}+3x^{3} \\
+
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\end{align}</math>
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as the integrand.
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Aktuelle Version

Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.

Da unser Integrand in der Form xn ist, können wir die Regel

xndx=xn+1n+1+C 

für jeden Term benutzen.

F(x)=x2+12+1+3x3+13+1

Der Wert des Integrals ist daher

20x2+3x3dx= 3x3+34x420=323+3424−303+3404=38+4316=344.


Hinweis: Wir können testen ob F(x)=31x3+43x4 eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir F(x) ableiten

F(x)=31x3+43x4=313x2+434x3=x2+3x3.
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