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Lösung 2.1:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.
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für jeden Term benutzen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}</math>}}
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Der Wert des Integrals ist daher
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int\limits_{0}^{2} \bigl( x^2+3x^3\bigr)\,dx
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&= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} + 3\cdot\frac{x^4}{4}\Bigr]_0^2\\
 +
&= \frac{2^3}{3} + 3\cdot\frac{2^4}{4} - \Bigl(\frac{0^3}{3} + 3\cdot\frac{0^4}{4} \Bigr)\\[5pt]
 +
&= \frac{8}{3} + \frac{3\cdot 16}{4}\\[5pt]
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&= \frac{44}{3}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Hinweis: Wir können testen ob <math>F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4</math> eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir <math>F(x)</math> ableiten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt]
 +
&= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt]
 +
&= x^2+3x^3\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.

Da unser Integrand in der Form xn ist, können wir die Regel

xndx=xn+1n+1+C 

für jeden Term benutzen.

F(x)=x2+12+1+3x3+13+1

Der Wert des Integrals ist daher

20x2+3x3dx= 3x3+34x420=323+3424−303+3404=38+4316=344.


Hinweis: Wir können testen ob F(x)=31x3+43x4 eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir F(x) ableiten

F(x)=31x3+43x4=313x2+434x3=x2+3x3.
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