Lösung 1.3:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 19:24, 21. Aug. 2009

Wir nennen die x-Koordinate des Punktes P x. Die y-Koordinate ist dann 1−x2, da P auf der Kurve y=1−x2 liegt.

Die Fläche des Rechtecks ist

A(x)=(Basis)(Höhe)=x(1−x2)

Wir wollen diese Fläche maximieren.

Wir sehen, dass P im ersten Quadranten liegen muss. Also x0 und y=1−x20. Wir wissen nun, dass x1 ist. Also suchen wir das Maximum von A(x) im Bereich 0x1.

Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:

1. stationäre Punkte mit f(x)=0,
2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Endpunkte.

Die Funktion A(x)=x(1−x2) ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte A(0)=A(1)=0 können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).

Die Ableitung der Funktion ist

A(x)=1(1−x2)+x(−2x)=1−3x2

und wir erhalten die Gleichung x=13  für die stationären Punkte.
Nur die Lösung x=13  erfüllt aber 0x1.

Die zweite Ableitung A(x)=−6x hat im stationären Punkt den Wert

A13=−6130

also ist x=13  ein lokales Maximum.

Also ist der optimale Punkt P

P=131−132=1332.