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Lösung 3.1:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{NAVCONTENT_START}}
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Nachden der Ausdruck groß und kompliziert ist, arbeiten wir in Schritten. Zuerst schreiben wir den Zähler und Nenner wie einzelne Brüche,
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<center> [[Image:3_1_2d-1(2).gif]] </center>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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5-\frac{1}{1+i}
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<center> [[Image:3_1_2d-2(2).gif]] </center>
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&=\frac{5\cdot (1+i)}{1+i}-\frac{1}{1+i}
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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= \frac{5+5i-1}{1+i}
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= \frac{4+5i}{1+i}\,,\\[5pt]
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3i+\frac{i}{2-3i}
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&= \frac{3i(2-3i)}{2-3i}+\frac{i}{2-3i}
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= \frac{6i-9i^2+i}{2-3i}
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= \frac{9+7i}{2-3i}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Und also erhalten wir,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5-\dfrac{1}{1+i}}{3i+\dfrac{i}{2-3i}} =\ \frac{\dfrac{4+5i}{1+i}}{\dfrac{9+7i}{2-3i}} = \frac{(4+5i)(2-3i)}{(9+7i)(1+i)}\,\textrm{.}</math>}}
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Wir erweitern den Zähler und den Nenner,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{(4+5i)(2-3i)}{(9+7i)(1+i)}
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&= \frac{4\cdot 2 -4 \cdot 3i +5i\cdot 2 - 5i\cdot 3i}{9\cdot1+9\cdot i +7i\cdot 1 +7i \cdot i}\\[5pt]
 +
&= \frac{8-12i+10i+15}{9+9i+7i-7}\\[5pt]
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&= \frac{23-2i}{2+16i}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Diesen Bruch berechnen wir, indem wir den Bruch mit den konjugiert komplezen Nenner erweitern,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{23-2i}{2+16i}
 +
&= \frac{(23-2i)(2-16i)}{(2+16i)(2-16i)}\\[5pt]
 +
&= \frac{23\cdot 2 -23\cdot 16i -2i\cdot 2 +2i \cdot 16i}{2^2-(16i)^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{46-368i-4i-32}{4+256}\\[5pt]
 +
&= \frac{14-372i}{260}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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Zerlegen wir alle Zahlen in ihre Primfaktoren,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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14 &= 2\cdot 7\,,\\[5pt]
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372 &= 2\cdot 186=2\cdot 2\cdot 93=2\cdot 2\cdot 3\cdot 31\,,\\[5pt]
 +
260 &= 10\cdot 26=2\cdot 5\cdot 13\cdot 2\,,
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\end{align}</math>}}
 +
 
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können wir die Antwort weiter vereinfachen,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{14}{260}-\frac{372}{260}\,i
 +
&= \frac{2\cdot 7}{2\cdot 2\cdot 5\cdot 13}-\frac{2\cdot 2\cdot 3\cdot 31}{2\cdot 2\cdot 5\cdot 13}\,i\\[5pt]
 +
&= \frac{7}{2\cdot 5\cdot 13}-\frac{3\cdot 31}{5\cdot 13}\,i\\[5pt]
 +
&= \frac{7}{130}-\frac{93}{65}\,i\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Nachden der Ausdruck groß und kompliziert ist, arbeiten wir in Schritten. Zuerst schreiben wir den Zähler und Nenner wie einzelne Brüche,

5−11+i3i+i2−3i=1+i5(1+i)−11+i=1+i5+5i−1=1+i4+5i=2−3i3i(2−3i)+i2−3i=2−3i6i−9i2+i=2−3i9+7i.

Und also erhalten wir,

5−11+i3i+i2−3i= 2−3i9+7i1+i4+5i=(9+7i)(1+i)(4+5i)(2−3i).

Wir erweitern den Zähler und den Nenner,

(9+7i)(1+i)(4+5i)(2−3i)=91+9i+7i1+7ii42−43i+5i2−5i3i=9+9i+7i−78−12i+10i+15=2+16i23−2i.

Diesen Bruch berechnen wir, indem wir den Bruch mit den konjugiert komplezen Nenner erweitern,

2+16i23−2i=(2+16i)(2−16i)(23−2i)(2−16i)=22−(16i)2232−2316i−2i2+2i16i=4+25646−368i−4i−32=26014−372i.

Zerlegen wir alle Zahlen in ihre Primfaktoren,

14372260=27=2186=2293=22331=1026=25132

können wir die Antwort weiter vereinfachen,

14260−260372i=2722513−2251322331i=72513−513331i=7130−6593i.
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