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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z+i</math>, und werden dadurch <math>z</math> im Nenner los,
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		+	Wir erweitern die rechte Seite der neuen Gleichung,
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>iz+1 = 3z+3i+iz-1\,,</math>}}
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		+	und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,
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		+	iz-3z-iz &= 3i-1-1\,,\\[5pt]
		+	-3z &= -2+3i\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
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		+	Wir erhalten also,
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-2+3i}{-3} = \frac{2}{3}-i\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Nachdem es recht mühsam ist, kompleze Zahlen mit einander zu dividieren, kontrollieren wir nicht die Lösung in der ursprünglichen Gleichung, sondern in der Gleichung <math>iz+1=(3+i)(z+i)</math>,
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\text{Linke Seite} &= iz+1 = i(\tfrac{2}{3}-i)+1 = \tfrac{2}{3}\cdot i+1+1 = 2+\tfrac{2}{3}i,\\[5pt]
		+	\text{Rechte Seite} &= (3+i)(z+i) = (3+i)(\tfrac{2}{3}-i+i) = (3+i)\tfrac{2}{3} = 2+\tfrac{2}{3}i\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

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Aktuelle Version

Wir multiplizieren beide Seiten mit z+i, und werden dadurch z im Nenner los,

iz+1=(3+i)(z+i).

Dies bedeutet aber, dass wir eine neue Gleichung haben, die nicht äquivalent mit der ursprünglichen Gleichung ist. Wenn die neue Gleichung eine Lösung z=−i hat, kann dies unmöglich eine Lösung der ursprünglichen Gleichung sein, nachdem der Nenner dann 0 wäre.

Wir erweitern die rechte Seite der neuen Gleichung,

iz+1=3z+3i+iz−1

und ziehen alle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,

iz−3z−iz−3z=3i−1−1=−2+3i.

Wir erhalten also,

z=−3−2+3i=32−i.

Nachdem es recht mühsam ist, kompleze Zahlen mit einander zu dividieren, kontrollieren wir nicht die Lösung in der ursprünglichen Gleichung, sondern in der Gleichung iz+1=(3+i)(z+i),

Linke SeiteRechte Seite=iz+1=i(32−i)+1=32i+1+1=2+32i=(3+i)(z+i)=(3+i)(32−i+i)=(3+i)32=2+32i.