Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösung 3.1:4f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:))
Aktuelle Version (12:23, 22. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 8 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
Nachdem <math>z</math> und <math>\bar{z}</math> in der Gleichung sind, können wir <math>z</math> (oder <math>\bar{z}</math>) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen
-
<center> [[Image:3_1_4f-1(2).gif]] </center>
+
 
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy</math>}}
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
 
-
<center> [[Image:3_1_4f-2(2).gif]] </center>
+
und lösen die Gleichung für den Realteil <math>x</math> und den Imaginärteil <math>y</math>.
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
 
 +
Die linke Seite der Gleichung wird dann
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
(1+i)(x-iy)+i(x+iy)
 +
&= 1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\[5pt]
 +
&= x-iy+ix+y+ix-y\\[5pt]
 +
&= x+(2x-y)i
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
also ist die Gleichung
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}</math>}}
 +
 
 +
Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
 +
 
 +
Dies ergibt <math>x=3</math> und <math>y=2x-5=2\cdot 3-5=1</math>. Also ist die Lösung der Gleichung <math>z=3+i</math>.
 +
 
 +
Dies überprüfen wir einfach, indem wir <math>z=3+i</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren,
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\text{Linke Seite}
 +
&= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt]
 +
&= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt]
 +
&= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt]
 +
&= 3+5i\\[5pt]
 +
&= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Nachdem z und z in der Gleichung sind, können wir z (oder z) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen

z=x+iy

und lösen die Gleichung für den Realteil x und den Imaginärteil y.

Die linke Seite der Gleichung wird dann

(1+i)(x−iy)+i(x+iy)=1x−1iy+ix−i2y+ix+i2y=x−iy+ix+y+ix−y=x+(2x−y)i

also ist die Gleichung

x+(2x−y)i=3+5i.

Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir

x2x−y=3=5. 

Dies ergibt x=3 und y=2x−5=23−5=1. Also ist die Lösung der Gleichung z=3+i.

Dies überprüfen wir einfach, indem wir z=3+i in der ursprünglichen Gleichung substituieren,

Linke Seite=(1+i)z+iz=(1+i)(3−i)+i(3+i)=3−i+3i+1+3i−1=3+5i=Rechte Seite.
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:4f“