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Lösung 3.1:4f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{NAVCONTENT_START}}
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Nachdem <math>z</math> und <math>\bar{z}</math> in der Gleichung sind, können wir <math>z</math> (oder <math>\bar{z}</math>) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen
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Because the equation contains both <math>z</math> and <math>\bar{z}</math>, we cannot use <math>z</math> (or <math>\bar{z}</math>) alone as an unknown, so we are forced to set
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy</math>}}
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<math>z=x+iy</math>
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und lösen die Gleichung für den Realteil <math>x</math> und den Imaginärteil <math>y</math>.
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Die linke Seite der Gleichung wird dann
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and use the real part <math>x</math> and the imaginary part <math>y</math> as unknowns.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(1+i)(x-iy)+i(x+iy)
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&= 1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\[5pt]
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&= x-iy+ix+y+ix-y\\[5pt]
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&= x+(2x-y)i
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\end{align}</math>}}
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With this approach, the left-hand side of the equation becomes
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also ist die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}</math>}}
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<math>(1+i)(x-iy)+i(x+iy)</math><math>
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Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir
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\begin{align} &=1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\
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&=x-iy+ix+y+ix-y\\
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&=x+(2x-y)i\end{align}</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
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and the whole equation becomes
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Dies ergibt <math>x=3</math> und <math>y=2x-5=2\cdot 3-5=1</math>. Also ist die Lösung der Gleichung <math>z=3+i</math>.
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Dies überprüfen wir einfach, indem wir <math>z=3+i</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren,
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<math>x+(2x-y)i=3+5i</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Linke Seite}
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&= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt]
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The two complex numbers on the left- and right-hand sides are equal when both real and imaginary parts are equal, i.e.
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&= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt]
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&= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt]
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+
&= 3+5i\\[5pt]
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<math>\begin{cases}x=3\\2x-y=5.\end{cases}</math>
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&= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
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This gives <math>x=3</math> and <math>y=2x-5=2\cdot 3-5=1</math>. Thus, the equation has the solution <math>z=3+i</math>.
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A quick check shows that <math>z=3+i</math> satisfies the equation in the exercise:
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<math>\begin{align}LHS &= (1+i)\bar{z}+iz=(1+i)(3-i)+i(3+i)\\
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&= 3-i+3i+1+3i-1 = 3+5i = RHS\end{align}</math>
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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Aktuelle Version

Nachdem z und z in der Gleichung sind, können wir z (oder z) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen

z=x+iy

und lösen die Gleichung für den Realteil x und den Imaginärteil y.

Die linke Seite der Gleichung wird dann

(1+i)(x−iy)+i(x+iy)=1x−1iy+ix−i2y+ix+i2y=x−iy+ix+y+ix−y=x+(2x−y)i

also ist die Gleichung

x+(2x−y)i=3+5i.

Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir

x2x−y=3=5. 

Dies ergibt x=3 und y=2x−5=23−5=1. Also ist die Lösung der Gleichung z=3+i.

Dies überprüfen wir einfach, indem wir z=3+i in der ursprünglichen Gleichung substituieren,

Linke Seite=(1+i)z+iz=(1+i)(3−i)+i(3+i)=3−i+3i+1+3i−1=3+5i=Rechte Seite.
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