Lösung 3.2:6f - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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- We can write every factor in the numerator and denominator in polar form and then use the arithmetical rules for multiplication and division in polar form: + Schreiben wir den Zähler und Nenner in Polarform, können wir die Divisions- und Multilpikationsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden:
  
 :*<math>r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)\cdot r_2(\cos\beta + i\sin\beta) = r_1r_2\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,,</math>  :*<math>r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)\cdot r_2(\cos\beta + i\sin\beta) = r_1r_2\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,,</math>
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 :*<math>\frac{r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta + i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>  :*<math>\frac{r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta + i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>
  
- In fact, most of the work consists of writing all the factors in polar form: + Wir schreiben die Zahlen also in Polarform:
  
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- The whole expression becomes + und erhalten den Ausdruck
  
- {{Displayed math||<math>\begin{align} + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3}\,)}{3i(\sqrt{12}-2i)}  \frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3}\,)}{3i(\sqrt{12}-2i)}
 &= \frac{2\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\cdot 2\Bigl( \cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{3\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}\Bigr)\cdot 4\Bigl(\cos\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)+i\sin\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)}\\[5pt]  &= \frac{2\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\cdot 2\Bigl( \cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{3\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}\Bigr)\cdot 4\Bigl(\cos\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)+i\sin\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)}\\[5pt]
Aktuelle Version
Schreiben wir den Zähler und Nenner in Polarform, können wir die Divisions- und Multilpikationsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden:

r1(cos+isin)r2(cos+isin)=r1r2cos(+)+isin(+) 


r2(cos+isin)r1(cos+isin)=r2r1cos(−)+isin(−). 


Wir schreiben die Zahlen also in Polarform:










und erhalten den Ausdruck





3i(12−2i)(2+2i)(1+i3)=22cos4+isin42cos3+isin33cos2+isin24cos−6+isin−6=12cos2−6+isin2−642cos4+3+isin4+3=12cos3+isin342cos127+isin127=1242cos127−3+isin127−3=32cos4+isin4. 


Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:6f“
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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- We can write every factor in the numerator and denominator in polar form and then use the arithmetical rules for multiplication and division in polar form: + Schreiben wir den Zähler und Nenner in Polarform, können wir die Divisions- und Multilpikationsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden:
  
 :*<math>r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)\cdot r_2(\cos\beta + i\sin\beta) = r_1r_2\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,,</math>  :*<math>r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)\cdot r_2(\cos\beta + i\sin\beta) = r_1r_2\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,,</math>
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 :*<math>\frac{r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta + i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>  :*<math>\frac{r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta + i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>
  
- In fact, most of the work consists of writing all the factors in polar form: + Wir schreiben die Zahlen also in Polarform:
  
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- The whole expression becomes + und erhalten den Ausdruck
  
- {{Displayed math||<math>\begin{align} + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3}\,)}{3i(\sqrt{12}-2i)}  \frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3}\,)}{3i(\sqrt{12}-2i)}
 &= \frac{2\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\cdot 2\Bigl( \cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{3\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}\Bigr)\cdot 4\Bigl(\cos\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)+i\sin\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)}\\[5pt]  &= \frac{2\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\cdot 2\Bigl( \cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{3\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}\Bigr)\cdot 4\Bigl(\cos\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)+i\sin\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)}\\[5pt]
Aktuelle Version
Schreiben wir den Zähler und Nenner in Polarform, können wir die Divisions- und Multilpikationsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden:

r1(cos+isin)r2(cos+isin)=r1r2cos(+)+isin(+) 


r2(cos+isin)r1(cos+isin)=r2r1cos(−)+isin(−). 


Wir schreiben die Zahlen also in Polarform:










und erhalten den Ausdruck





3i(12−2i)(2+2i)(1+i3)=22cos4+isin42cos3+isin33cos2+isin24cos−6+isin−6=12cos2−6+isin2−642cos4+3+isin4+3=12cos3+isin342cos127+isin127=1242cos127−3+isin127−3=32cos4+isin4. 


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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- We can write every factor in the numerator and denominator in polar form and then use the arithmetical rules for multiplication and division in polar form: + Schreiben wir den Zähler und Nenner in Polarform, können wir die Divisions- und Multilpikationsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden:
  
 :*<math>r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)\cdot r_2(\cos\beta + i\sin\beta) = r_1r_2\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,,</math>  :*<math>r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)\cdot r_2(\cos\beta + i\sin\beta) = r_1r_2\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,,</math>
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 :*<math>\frac{r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta + i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>  :*<math>\frac{r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta + i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>
  
- In fact, most of the work consists of writing all the factors in polar form: + Wir schreiben die Zahlen also in Polarform:
  
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- {{Displayed math||<math>\begin{align} + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3}\,)}{3i(\sqrt{12}-2i)}  \frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3}\,)}{3i(\sqrt{12}-2i)}
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Aktuelle Version
Schreiben wir den Zähler und Nenner in Polarform, können wir die Divisions- und Multilpikationsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden:

r1(cos+isin)r2(cos+isin)=r1r2cos(+)+isin(+) 


r2(cos+isin)r1(cos+isin)=r2r1cos(−)+isin(−). 


Wir schreiben die Zahlen also in Polarform:










und erhalten den Ausdruck





3i(12−2i)(2+2i)(1+i3)=22cos4+isin42cos3+isin33cos2+isin24cos−6+isin−6=12cos2−6+isin2−642cos4+3+isin4+3=12cos3+isin342cos127+isin127=1242cos127−3+isin127−3=32cos4+isin4. 


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-We can write every factor in the numerator and denominator in polar form and then use the arithmetical rules for multiplication and division in polar form:
+Schreiben wir den Zähler und Nenner in Polarform, können wir die Divisions- und Multilpikationsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden:
 :*<math>r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)\cdot r_2(\cos\beta + i\sin\beta) = r_1r_2\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,,</math>
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 :*<math>\frac{r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta + i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>
-In fact, most of the work consists of writing all the factors in polar form:
+Wir schreiben die Zahlen also in Polarform:
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-The whole expression becomes
+und erhalten den Ausdruck
-{{Displayed math||<math>\begin{align}
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3}\,)}{3i(\sqrt{12}-2i)}
 &= \frac{2\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\cdot 2\Bigl( \cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{3\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}\Bigr)\cdot 4\Bigl(\cos\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)+i\sin\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)}\\[5pt]
 i(12−2i)(2+2i)(1+i3)=22cos4+isin42cos3+isin33cos2+isin24cos−6+isin−6=12cos2−6+isin2−642cos4+3+isin4+3=12cos3+isin342cos127+isin127=1242cos127−3+isin127−3=32cos4+isin4.