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Lösung 2.1:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (11:02, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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\end{align}\right.</math>}}
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Eliminieren wir ''y'' und lösen die Gleichung für ''x'', erhalten wir die Schnittstellen
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Eliminieren wir ''y'' und lösen die Gleichung für ''x'', erhalten wir die Schnittstellen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,</math>}}
oder
oder
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{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,</math>,}}
also ist
also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\bigr)x^2 &= 6\,,\\[5pt]
+
\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\bigr)x^2 &= 6\,\\[5pt]
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\tfrac{3}{8}x^2 &= 6\,,\\[5pt]
+
\tfrac{3}{8}x^2 &= 6\,\\[5pt]
x^2 &= 16\,\textrm{.}
x^2 &= 16\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
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Also sind die Schnittstellen <math>x=-4</math> und <math>x=4\,</math>.
Also sind die Schnittstellen <math>x=-4</math> und <math>x=4\,</math>.
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Die Fälche zwischen den Kurven ist also
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Die Fläche zwischen den Kurven ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Zuerst betrachten wir den Graphen, der unser Gebiet einschließt. Die Kurven y=x24+2 und y=8−x28 sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat ihr Minimum y=2 wenn x=0 und die zweite das Maximum y=8 wenn x=0. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.

Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion y=8−x28 und die untere Grenze die Funktion y=x24+2. Bestimmen wir die Schnittstellen x=a und x=b der beiden Kurven, ist die Fläche

Fläche=ba8−81x2−41x2+2dx. 

Die Fläche ist das Integral der Differenz zwischen den beiden Funktionen.

Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung:

yy=8−81x2=41x2+2.

Eliminieren wir y und lösen die Gleichung für x, erhalten wir die Schnittstellen.

8−81x2=41x2+2

oder

41x2+81x2=8−2,

also ist

41+81x283x2x2=6=6=16.

Also sind die Schnittstellen x=−4 und x=4.

Die Fläche zwischen den Kurven ist also

Fläche=4−48−81x2−41x2+2dx=4−48−81x2−41x2−2dx=4−46−81+41x2dx=4−46−83x2dx= 6x−833x3 4−4= 6x−8x3 4−4=64−843−6(−4)−8(−4)3=24−8+24−8=32.
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