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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Wir zeichnen die Kurven.
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-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math>, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so, dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math>, wo die obere Grenze <math>y=x+2</math> ist und eine zwischen <math>x=b</math> und <math>x=c</math> wo <math>y=1/x</math> die obere Grenze ist.
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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Die Flächen dieser Gebiete sind
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-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,\\[5pt]
		+	\text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,
		+	\end{align}</math>}}
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		+	Die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.
		+
		+	Wir suchen also die Schnittstellen:
		+
		+	*<math>x=a</math>: Die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=x+2</math> erfüllt beide Gleichungen:
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
		+	y &= 1\,,\\[5pt]
		+	y &= x+2\,\textrm{.}
		+	\end{align}\right.</math>}}
		+
		+	:Dies ergibt <math>x+2=1</math>, also <math>x=-1\,</math>. Daher ist <math>a=-1\,</math>.
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		+
		+	*<math>x=b</math>: Die Schnittstelle von <math>y=x+2</math> und <math>y=1/x</math> erfüllt beide Gleichungen:
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
		+	y &= x+2\,,\\[5pt]
		+	y &= 1/x\,\textrm{.}
		+	\end{align}\right.</math>}}
		+
		+	:Eliminieren wir <math>y</math> erhalten wir für <math>x</math> diese Gleichung
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}
		+
		+	:die wir mit <math>x</math> multiplizieren,
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x=1\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	:Quadratische Ergänzung ergibt:
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,\\[5pt]
		+	(x+1)^2 &= 2\,.
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	:Die Wurzeln sind daher <math>x=-1\pm \sqrt{2}</math> und dies ergibt
		+	<math>b=-1+\sqrt{2}</math>. (Die Lösung <math>b=-1-\sqrt{2}</math>
		+	liegt links von <math>x=a\,</math>.)
		+
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		+	*<math>x=c</math>: Dies ist die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=1/x\,</math>, also ist <math>x=1\,</math>, daher <math>c=1\,</math>.
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		+	Die Teilflächen sind also
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\text{Linke Fläche}
		+	&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt]
		+	&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt]
		+	&= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + x\ \Bigr]_{-1}^{\sqrt{2}-1}\\[5pt]
		+	&= \frac{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)^2}{2} + \sqrt{2} - 1 - \Bigl(\frac{(-1)^2}{2} + (-1) \Bigr)\\[5pt]
		+	&= \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
		+	&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
		+	&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
		+	&= 1\,\textrm{.}\\[10pt]
		+	\text{Rechte Fläche}
		+	&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]
		+	&= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt]
		+	&= \ln 1 - 1 - \Bigl( \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr)-\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\Bigr)\\[5pt]
		+	&= 0 - 1 - \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr) + \sqrt{2} - 1\\[5pt]
		+	&= \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	Die gesamte Fläche ist
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\text{Fläche}
		+	&= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt]
		+	&= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt]
		+	&= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

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Aktuelle Version

Wir zeichnen die Kurven.

Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir, dass die Fläche unten von der Geraden y=1 begrenzt ist und oben von den Kurven y=x+2 und y=1x.

Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven x=a, x=b und x=c, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so, dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen x=a und x=b, wo die obere Grenze y=x+2 ist und eine zwischen x=b und x=c wo y=1x die obere Grenze ist.

Die Flächen dieser Gebiete sind

Linke FlächeRechte Fläche=ba(x+2−1)dx=cbx1−1dx

Die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.

Wir suchen also die Schnittstellen:

• x=a: Die Schnittstelle von y=1 und y=x+2 erfüllt beide Gleichungen:

yy=1=x+2.

Dies ergibt x+2=1, also x=−1. Daher ist a=−1.

• x=b: Die Schnittstelle von y=x+2 und y=1x erfüllt beide Gleichungen:

yy=x+2=1x.

Eliminieren wir y erhalten wir für x diese Gleichung

x+2=x1

die wir mit x multiplizieren,

x2+2x=1.

Quadratische Ergänzung ergibt:

(x+1)2−12(x+1)2=1=2

Die Wurzeln sind daher x=−12  und dies ergibt

b=−1+2 . (Die Lösung b=−1−2  liegt links von x=a.)

• x=c: Dies ist die Schnittstelle von y=1 und y=1x, also ist x=1, daher c=1.

Die Teilflächen sind also

Linke FlächeRechte Fläche=2−1−1(x+2−1)dx=2−1−1(x+1)dx= 2x2+x −12−1=22−12+2−1−2(−1)2+(−1)=222−22+1+2−1−21+1=22−22+1+2−1−21+1=1−2+21+2−1−21+1=1.=12−1x1−1dx= lnx−x 12−1=ln1−1−ln2−1−2−1=0−1−ln2−1+2−1=2−2−ln2−1.

Die gesamte Fläche ist

Fläche=(Linke Fläche)+(Rechte Fläche)=1+2−2−ln2−1=2−1−ln2−1.