Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösung 2.1:4e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (11:23, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 3 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
The double inequality means that we look for the area of the region which is bounded above in the y-direction by the straight line <math>y=x+2</math> and from below by the parabola <math>y=x^2</math>.
+
Die doppelte Ungleichung bedeutet, dass ''y'' zwischen den Kurven <math>y=x+2</math> und <math>y=x^2</math> liegt.
-
If we sketch the line and the parabola, the region is given by the region shaded in the figure below.
+
In der Figur unten ist das Gebiet eingezeichnet.
[[Image:2_1_4_e.gif|center]]
[[Image:2_1_4_e.gif|center]]
-
As soon as we have determined the ''x''-coordinates of the points of intersection,
+
Die Fläche des Gebietes ist
-
<math>x=a</math> and <math>x=b</math>, between the line and the parabola, we can calculate the area as the integral of the difference between the curves' ''y''-values,
+
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_a^b \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\,\textrm{,}</math>}}
-
The curves' points of intersection are those points which lie on both curves, i.e. which satisfy both curves' equations
+
wobei <math>x=a</math> und <math>x=b</math> die Schnittstellen der beiden Kurven sind, die wir durch folgende Gleichung erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 17: Zeile 16:
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
-
By eliminating <math>y</math>, we obtain an equation for <math>x</math>,
+
Eliminieren wir <math>y</math>, erhalten wir für <math>x</math> diese Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}=x+2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}=x+2\,\textrm{.}</math>}}
-
If we move all ''x''-terms to the left-hand side,
+
Hohlen wir alle ''x''-Terme zu einer Seite erhalten wir
-
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x=2\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x=2\,</math>.}}
-
and complete the square, we obtain
+
Durch quadratische Ergänzung ergibt sich
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 32: Zeile 31:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Taking the root then gives that <math>x=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}</math>. In other words, <math>x=-1</math> and <math>x=2\,</math>.
+
Wir erhalten also die Wurzeln <math>x=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}</math>, oder <math>x=-1</math> und <math>x=2\,</math>.
-
The area of the region is now given by
+
Die Fläche ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\text{Area}
+
\text{Fläche}
&= \int\limits_{-1}^2 \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-1}^2 \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\\[5pt]
&= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-1}^2\\[5pt]
&= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-1}^2\\[5pt]

Aktuelle Version

Die doppelte Ungleichung bedeutet, dass y zwischen den Kurven y=x+2 und y=x2 liegt.

In der Figur unten ist das Gebiet eingezeichnet.

Die Fläche des Gebietes ist

Fläche=bax+2−x2dx, 

wobei x=a und x=b die Schnittstellen der beiden Kurven sind, die wir durch folgende Gleichung erhalten

yy=x+2=x2. 

Eliminieren wir y, erhalten wir für x diese Gleichung

x2=x+2.

Hohlen wir alle x-Terme zu einer Seite erhalten wir

x2−x=2.

Durch quadratische Ergänzung ergibt sich

x−212−212x−212=2=49.

Wir erhalten also die Wurzeln x=2123, oder x=−1 und x=2.

Die Fläche ist also

Fläche=2−1x+2−x2dx= 2x2+2x−3x3 2−1=222+22−323−2(−1)2+2(−1)−3(−1)3=2+4−38−21+2−31=29.
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:4e“