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Lösung 2.2:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
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The secret behind a successful substitution is to be able to recognize the integral as an expression of the type
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Die Ableitung von <math>x^2</math> ist <math>\bigl(x^2\bigr)'=2x</math>. Daher substituieren wir <math>u=x^2</math>.
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{{Displayed math||<math>\int \left( \begin{matrix}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int u'\sin u\,dx</math>}}
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\text{an expression}\\
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\text{in u}
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\end{matrix}\right)\cdot u'\,dx\,,</math>}}
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where <math>u=u(x)</math> is the actual substitution. In the integral
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Wir erhalten
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{{Displayed math||<math>\int 2x\sin x^2\,dx</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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we see that the expression <math>x^2</math> is the argument for the sine function, as the same time as its derivative <math>\bigl(x^2\bigr)'=2x</math> stands as a factor in front of sine. Therefore, if we set <math>u=x^2</math>, the integral, the integral will be of the form
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{{Displayed math||<math>\int u'\sin u\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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Thus, we can use <math>u=x^2</math> for the substitution,
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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\int 2x\sin x^2\,dx
\int 2x\sin x^2\,dx
&=\left\{\begin{align}
&=\left\{\begin{align}

Aktuelle Version

Die Ableitung von x2 ist x2=2x . Daher substituieren wir u=x2.

usinudx 

Wir erhalten

2xsinx2dx=udu=x2=2xdx=sinudu=−cosu+C=−cosx2+C. 
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