Processing Math: Done
Lösung 2.2:3d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
K (Lösning 2.2:3d moved to Solution 2.2:3d: Robot: moved page) |
|||
| (Der Versionsvergleich bezieht 6 dazwischen liegende Versionen mit ein.) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | {{ | + | Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist |
| - | < | + | |
| - | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>.}} |
| + | |||
| + | Also ist das Integral | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Durch die Substitution <math>u=x^2+2x+2</math> erhalten wir ein einfacheres Integral. | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx | ||
| + | &= \left\{\begin{align} | ||
| + | u &= x^2+2x+2\\[5pt] | ||
| + | du &= (x^2+2x+2)'\,dx = 2(x+1)\,dx | ||
| + | \end{align}\right\}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}} | ||
| + | |||
| + | sehen wir, dass <math>x^2+2x+2</math> immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen. | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist
 =2x+2=2(x+1) |
Also ist das Integral
 21x2+2x+2 (x2+2x+2)dx. |
Durch die Substitution
x+1x2+2x+2dx= udu=x2+2x+2=(x2+2x+2)dx=2(x+1)dx =21udu=21ln u+C=21lnx2+2x+2+C |
Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung
sehen wir, dass
