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Lösung 2.2:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (12:42, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 5 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
Observe that the derivative of the denominator is, for the most part, equal to the numerator,
+
Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>.}}
-
<math>\left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }=2x+2=2\left( x+1 \right)</math>
+
Also ist das Integral
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-
so we can rewrite the integral as
+
Durch die Substitution <math>u=x^2+2x+2</math> erhalten wir ein einfacheres Integral.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx
 +
&= \left\{\begin{align}
 +
u &= x^2+2x+2\\[5pt]
 +
du &= (x^2+2x+2)'\,dx = 2(x+1)\,dx
 +
\end{align}\right\}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\int{\frac{\frac{1}{2}}{x^{2}+2x+2}}\centerdot \left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }\,dx</math>
+
Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}
-
The substitution
+
sehen wir, dass <math>x^2+2x+2</math> immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen.
-
<math>u=x^{2}+2x+2</math>
+
-
will therefore simplify the integral considerably:
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
-
& \int{\frac{x+1}{x^{2}+2x+2}}\,dx=\left\{ \begin{matrix}
+
-
u=x^{2}+2x+2 \\
+
-
du=\left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }\,dx=2\left( x+1 \right)\,dx \\
+
-
\end{matrix} \right\} \\
+
-
& =\frac{1}{2}\int{\frac{\,du}{u}}=\frac{1}{2}\ln \left| u \right|+C \\
+
-
& =\frac{1}{2}\ln \left| x^{2}+2x+2 \right|+C \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
NOTE: By completing the square
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x^{2}+2x+2=\left( x+1 \right)^{2}-1^{2}+2=\left( x+1 \right)^{2}+1</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
we see that
+
-
<math>x^{2}+2x+2</math>
+
-
is always greater than or equal to
+
-
<math>\text{1}</math>, so we can take away the absolute sign around the argument in
+
-
<math>\text{ln}</math>
+
-
and answer with
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\frac{1}{2}\ln \left( x^{2}+2x+2 \right)+C</math>
+

Aktuelle Version

Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist

(x2+2x+2)=2x+2=2(x+1).

Also ist das Integral

21x2+2x+2(x2+2x+2)dx. 

Durch die Substitution u=x2+2x+2 erhalten wir ein einfacheres Integral.

x+1x2+2x+2dx=udu=x2+2x+2=(x2+2x+2)dx=2(x+1)dx=21udu=21lnu+C=21lnx2+2x+2+C

Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung

x2+2x+2=(x+1)2−12+2=(x+1)2+1

sehen wir, dass x2+2x+2 immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen.

21ln(x2+2x+2)+C
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