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Lösung 2.2:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (12:42, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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Observe that the derivative of the denominator is, for the most part, equal to the numerator,
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Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>.}}
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so we can rewrite the integral as
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Also ist das Integral
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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The substitution <math>u=x^2+2x+2</math> will therefore simplify the integral considerably,
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Durch die Substitution <math>u=x^2+2x+2</math> erhalten wir ein einfacheres Integral.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 17: Zeile 17:
&= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt]
&= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt]
&= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt]
&= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt]
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&= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C\,\textrm{.}
+
&= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung
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Note: By completing the square
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}
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we see that <math>x^2+2x+2</math> is always greater than or equal to 1, so we can take away the absolute sign around the argument in <math>\ln</math> and answer with
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sehen wir, dass <math>x^2+2x+2</math> immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C</math>}}

Aktuelle Version

Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist

(x2+2x+2)=2x+2=2(x+1).

Also ist das Integral

21x2+2x+2(x2+2x+2)dx. 

Durch die Substitution u=x2+2x+2 erhalten wir ein einfacheres Integral.

x+1x2+2x+2dx=udu=x2+2x+2=(x2+2x+2)dx=2(x+1)dx=21udu=21lnu+C=21lnx2+2x+2+C

Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung

x2+2x+2=(x+1)2−12+2=(x+1)2+1

sehen wir, dass x2+2x+2 immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen.

21ln(x2+2x+2)+C
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