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Lösung 2.2:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
What makes our integral differ from that in the exercise´s text is that there is a term
+
Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner <math>x^2+4</math> statt <math>x^2+1</math> ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.
-
<math>x^{2}+4</math>
+
-
instead of
+
-
<math>x^{2}+1</math>, but if we factor out the 4 from the denominator,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}</math>}}
-
<math>\int{\frac{\,dx}{x^{2}+4}}=\int{\frac{\,dx}{4\left( \frac{1}{4}x^{2}+1 \right)}}=\frac{1}{4}\int{\frac{\,dx}{\frac{1}{4}x^{2}+1}}</math>,
+
Durch die Substitution <math>u=\tfrac{1}{2}x</math> erhalten wir
-
we obtain the correct second term in the denominator. On the other hand, there is no longer
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>x^{2}</math>
+
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}
-
but
+
&= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x/2)^2+1}
-
<math>\frac{1}{4}x^{2}</math>, although we can get around this by substituting
+
= \left\{\begin{align}
-
<math>u=\frac{1}{2}x</math>,
+
u &= x/2\\[5pt]
-
 
+
du &= \tfrac{1}{2}\,dx
-
 
+
\end{align}\right\}\\[5pt]
-
<math>\begin{align}
+
&= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}
-
& \frac{1}{4}\int{\frac{\,dx}{\frac{1}{4}x^{2}+1}}=\frac{1}{4}\int{\frac{\,dx}{\left( \frac{x}{2} \right)^{2}+1}}=\left\{ \begin{matrix}
+
= \frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}\\[5pt]
-
u=\frac{1}{2}x \\
+
&= \frac{1}{2}\arctan u + C
-
du=\frac{1}{2}\,dx \\
+
= \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2} + C\,\textrm{.}
-
\end{matrix} \right\} \\
+
\end{align}</math>}}
-
& =\frac{1}{4}\int{\frac{2\,du}{u^{2}+1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{\,du}{u^{2}+1}} \\
+
-
& =\frac{1}{2}\arctan u+C=\frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2}+C \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner x2+4 statt x2+1 ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.

dxx2+4=dx441x2+1=41dx41x2+1, 

Durch die Substitution u=21x erhalten wir

41dx41x2+1=41dx(x2)2+1=udu=x2=21dx=412duu2+1=21duu2+1=21arctanu+C=21arctanx2+C.
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