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Lösung 2.2:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (12:52, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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What makes our integral differ from that in the exercise´s text is that there is a term <math>x^2+4</math> instead of <math>x^2+1</math>, but if we factor out the 4 from the denominator,
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Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner <math>x^2+4</math> statt <math>x^2+1</math> ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}</math>}}
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we obtain the correct second term in the denominator. On the other hand, there is no longer <math>x^2</math> but <math>\tfrac{1}{4}x^2</math>, although we can get around this by substituting <math>u=\tfrac{1}{2}x</math>,
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Durch die Substitution <math>u=\tfrac{1}{2}x</math> erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner x2+4 statt x2+1 ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.

dxx2+4=dx441x2+1=41dx41x2+1, 

Durch die Substitution u=21x erhalten wir

41dx41x2+1=41dx(x2)2+1=udu=x2=21dx=412duu2+1=21duu2+1=21arctanu+C=21arctanx2+C.
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