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Lösung 2.2:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Es wäre möglich, die Substitution <math>u=x-1</math> zu machen, aber dies würde nicht das Problem mit dem Term 3 lösen. Wir ziehen stattdessen den Faktor 3 aus den Nenner
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}
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&= \int \frac{dx}{3\bigl(\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1\bigr)}\\[5pt]
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&= \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1}
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\end{align}</math>}}
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und schreiben den Faktor <math>\tfrac{1}{3}</math> in das Quadrat <math>(x-1)^2</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}</math>}}
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Jetzt machen wir die Substitution <math>u = (x-1)/\!\sqrt{3}</math> und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}
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&= \left\{\begin{align}
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u &= (x-1)/\!\sqrt{3}\\[5pt]
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du &= dx/\!\sqrt{3}
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\end{align}\right\}\\[5pt]
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&= \frac{1}{3}\int \frac{\sqrt{3}\,du}{u^2+1}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{3}}{3}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan u + C\\[5pt]
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&= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{x-1}{\sqrt{3}} + C\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Es wäre möglich, die Substitution u=x−1 zu machen, aber dies würde nicht das Problem mit dem Term 3 lösen. Wir ziehen stattdessen den Faktor 3 aus den Nenner

dx(x−1)2+3=dx331(x−1)2+1=31dx31(x−1)2+1

und schreiben den Faktor 31 in das Quadrat (x−1)2.

31dx31(x−1)2+1=31dx3x−12+1

Jetzt machen wir die Substitution u=(x−1)3  und erhalten

31dx3x−12+1=udu=(x−1)3=dx3=313duu2+1=33duu2+1=13arctanu+C=13arctan3x−1+C.
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