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Lösung 2.2:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
Aktuelle Version (13:03, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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The trick is to complete the square in the denominator so that we obtain the same expression as in exercise b,
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Wir führen die quadratische Ergänzung im Nenner aus.
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{{Displayed math||<math>\int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}</math>}}
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We take out a factor 4 from the denominator
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Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner
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{{Displayed math||<math>\int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}</math>}}
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and rewrite the quadratic term as
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und schreiben den quadratischen Term wie
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{{Displayed math||<math>\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
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If we now substitute <math>u = (x+2)/2</math>, we obtain the integral in the exercise
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Machen wir die Substitution <math>u = (x+2)/2</math>, erhalten wir das erwünschte Integral
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}
&= \left\{\begin{align}
&= \left\{\begin{align}

Aktuelle Version

Wir führen die quadratische Ergänzung im Nenner aus.

dxx2+4x+8=dx(x+2)2−22+8=dx(x+2)2+4 

Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner

dx(x+2)2+4=dx441(x+2)2+1=41dx41(x+2)2+1 

und schreiben den quadratischen Term wie

41dx41(x+2)2+1=41dx2x+22+1. 

Machen wir die Substitution u=(x+2)2, erhalten wir das erwünschte Integral

41dx2x+22+1=udu=(x+2)2=dx2=412duu2+1=21duu2+1=21arctanu+C=21arctan2x+2+C.
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