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Lösung 2.3:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wählen wir unsere Faktoren so, dass wir <math>x^2</math> ableiten und <math>\cos x</math> integrieren, erhalten wir ein Integral mit einem linearen Term statt einem quadratischen.
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<center> [[Image:2_3_1c-1(2).gif]] </center>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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<center> [[Image:2_3_1c-2(2).gif]] </center>
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Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten <math> 2x </math> ab und integrieren <math>\sin x</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int 2x\cdot \sin x\,dx
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&= 2x\cdot (-\cos x) - \int 2\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]
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&= -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx\\[5pt]
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&= -2x\cos x + 2\sin x + C
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\end{align}</math>}}
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Alles in allem erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int x^2\cos x\,dx
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&= x^2\cdot\sin x - (-2x\cos x+2\sin x+C)\\[5pt]
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&= x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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'''Hinweis:''' Wenn man mehrere partielle Integrationen benötigt, rechnet man oft in Schritten bevor man die endgültige Antwort berechnet.

Aktuelle Version

Wählen wir unsere Faktoren so, dass wir x2 ableiten und cosx integrieren, erhalten wir ein Integral mit einem linearen Term statt einem quadratischen.

x2cosxdx=x2sinx−2xsinxdx. 

Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten 2x ab und integrieren sinx.

2xsinxdx=2x(−cosx)−2(−cosx)dx=−2xcosx+2cosxdx=−2xcosx+2sinx+C

Alles in allem erhalten wir

x2cosxdx=x2sinx−(−2xcosx+2sinx+C)=x2sinx+2xcosx−2sinx+C. 

Hinweis: Wenn man mehrere partielle Integrationen benötigt, rechnet man oft in Schritten bevor man die endgültige Antwort berechnet.

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