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Lösung 2.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Had the integral instead been
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Wäre das Integral
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\,</math>,}}
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it is quite obvious that we would substitute <math>u=\sqrt{x}</math>, but we are missing a factor <math>1/2\sqrt{x}</math> which would take account of the derivative of <math>u</math> which is needed when <math>dx</math> is replaced by
+
würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir
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<math>du</math>. In spite of this, we can try the substitution <math>u=\sqrt{x}</math> if we multiply top and bottom by what is missing,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Now, we obtain instead another, not entirely simple, integral, but we can calculate the new integral by partial integration (<math>2u</math> is the factor that we differentiate and <math>e^{u}</math> is the factor that we integrate),
+
Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir <math>2u</math> ableiten und <math>e^{u}</math> integrieren.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= 2ue^u - 2\int e^u\,du\\[5pt]
&= 2ue^u - 2\int e^u\,du\\[5pt]
&= 2ue^u - 2e^u + C\\[5pt]
&= 2ue^u - 2e^u + C\\[5pt]
-
&= 2(u-1)e^u + C\,\textrm{.}
+
&= 2(u-1)e^u + C
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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If we substitute back <math>u=\sqrt{x}</math>, we obtain the answer
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Substituieren wir jetzt <math>u=\sqrt{x}</math> zurück, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}</math>}}
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As can be seen, it is possible to mix different integration techniques and often we need to experiment with different approaches before we find the right one.
+
Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal und es ist nicht immer ganz offensichtlich, wie man beginnen soll.

Aktuelle Version

Wäre das Integral

ex12xdx ,

würden wir die Substitution u=x  machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution u=x . Indem wir den Bruch mit dem Faktor 2x  erweitern, erhalten wir

exdx=ex2x12xdx=udu=x=xdx=12xdx=eu2udu.

Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir 2u ableiten und eu integrieren.

eu2udu=eu2u−eu2du=2ueu−2eudu=2ueu−2eu+C=2(u−1)eu+C

Substituieren wir jetzt u=x  zurück, erhalten wir

exdx=2(x−1)ex+C. 

Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal und es ist nicht immer ganz offensichtlich, wie man beginnen soll.

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