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Lösung 2.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wäre das Integral
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würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int e^{\sqrt{x}}\,dx
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&= \int e^{\sqrt{x}}\cdot 2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\\[5pt]
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&= \left\{\begin{align}
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u &= \sqrt{x}\\[5pt]
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du &= \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)'\,dx = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx
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\end{align}\right\}\\[5pt]
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&= \int e^{u}\cdot 2u\,du\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir <math>2u</math> ableiten und <math>e^{u}</math> integrieren.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int e^u\cdot 2u\,du
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&= e^u\cdot 2u - \int e^u\cdot 2\,du\\[5pt]
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&= 2ue^u - 2\int e^u\,du\\[5pt]
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&= 2ue^u - 2e^u + C\\[5pt]
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&= 2(u-1)e^u + C
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\end{align}</math>}}
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Substituieren wir jetzt <math>u=\sqrt{x}</math> zurück, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}</math>}}
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Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal und es ist nicht immer ganz offensichtlich, wie man beginnen soll.

Aktuelle Version

Wäre das Integral

ex12xdx ,

würden wir die Substitution u=x  machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution u=x . Indem wir den Bruch mit dem Faktor 2x  erweitern, erhalten wir

exdx=ex2x12xdx=udu=x=xdx=12xdx=eu2udu.

Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir 2u ableiten und eu integrieren.

eu2udu=eu2u−eu2du=2ueu−2eudu=2ueu−2eu+C=2(u−1)eu+C

Substituieren wir jetzt u=x  zurück, erhalten wir

exdx=2(x−1)ex+C. 

Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal und es ist nicht immer ganz offensichtlich, wie man beginnen soll.

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