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Lösung 2.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{NAVCONTENT_START}}
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Da wir ein Produkt von zwei Funktionen haben, scheint es selbstverständlich, partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren so, dass wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten.
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<center> [[Image:2_3_2b-1(2).gif]] </center>
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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{{NAVCONTENT_START}}
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\int x^3\cdot e^{x^2}\,dx
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<center> [[Image:2_3_2b-2(2).gif]] </center>
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&= \frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2} - \int\frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2}2x\,dx\\[5pt]
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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&= \frac{1}{4}x^{4}e^{x^2} - \frac{1}{2}\int x^5e^{x^2}\,dx
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\end{align}</math>}}
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Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.
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Die Lösung ist, dass wir die Substitution
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<math>u=x^2</math> machen. Schreiben wir das Integral wie
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}
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sehen wir, dass "<math>x\,dx</math>" mit <math>du</math> ersetzt werden kann, während <math>x^2</math> durch ''u'' ersetzt wird. So erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx
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&= \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx\\[5pt]
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&= \left\{\begin{align}
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u &= x^2\\[5pt]
 +
du &= \bigl(x^2\bigr)'\,dx = 2x\,dx
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\end{align}\right\}\\[5pt]
 +
&= \int\limits_0^1 ue^u\tfrac{1}{2}\,du\\[5pt]
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&= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor <math>u</math> ableiten.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du
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&= \frac{1}{2}\Bigl[\ ue^u\ \Bigr]_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 1\cdot e^u\,du\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\bigl(1\cdot e^1-0\bigr) - \frac{1}{2}\Bigl[\ e^u\ \Bigr]_0^1\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}\bigl(e^1-e^0\bigr)\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Da wir ein Produkt von zwei Funktionen haben, scheint es selbstverständlich, partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren so, dass wir x3 ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von ex2 finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir x3 integrieren und ex2 ableiten.

x3ex2dx=4x4ex2−4x4ex22xdx=41x4ex2−21x5ex2dx

Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.

Die Lösung ist, dass wir die Substitution u=x2 machen. Schreiben wir das Integral wie

10x3ex2dx=10x2ex2xdx 

sehen wir, dass "xdx" mit du ersetzt werden kann, während x2 durch u ersetzt wird. So erhalten wir

10x3ex2dx=10x2ex2xdx=udu=x2=x2dx=2xdx=10ueu21du=2110ueudu.

Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor u ableiten.

2110ueudu=21 ueu 10−21101eudu=211e1−0−21 eu 10=21e−21e1−e0=21e−21e+21=21
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