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Lösung 2.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (08:12, 28. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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Zeile 1: Zeile 1:
-
We have a product of two factors in the integrand, so a partial integration does not seem unreasonable. There is nevertheless a problem as regards which factor should be differentiated and which should be integrated. If we choose to differentiate
+
Da wir ein Produkt von zwei Funktionen haben, scheint es selbstverständlich, partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren so, dass wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten.
-
<math>x^{\text{3}}</math>
+
-
(so as to reduce its exponent by
+
-
<math>\text{1}</math>), we need to find a primitive function for
+
-
<math>e^{x^{2}}</math>, and how do we do that? If, on the other hand, we integrate
+
-
<math>x^{\text{3}}</math>
+
-
and differentiate
+
-
<math>e^{x^{2}}</math>, we get
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int x^3\cdot e^{x^2}\,dx
 +
&= \frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2} - \int\frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2}2x\,dx\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{4}x^{4}e^{x^2} - \frac{1}{2}\int x^5e^{x^2}\,dx
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.
-
& \int{x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\frac{x^{4}}{4}}\centerdot e^{x^{2}}-\int{\frac{x^{4}}{4}}\centerdot e^{x^{2}}2x\,dx \\
+
-
& =\frac{1}{4}x^{4}e^{x^{2}}-\frac{1}{2}\int{x^{5}e^{x^{2}}\,dx} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
which just seems to make the integral harder. The solution is instead to substitute
+
Die Lösung ist, dass wir die Substitution
-
<math>u=x^{2}</math>. If we write the integral as
+
<math>u=x^2</math> machen. Schreiben wir das Integral wie
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}
-
<math>\int\limits_{0}^{1}{x^{3}e^{x^{2}}\,dx}=\int\limits_{0}^{1}{x^{2}e^{x^{2}}x\,dx}</math>
+
sehen wir, dass "<math>x\,dx</math>" mit <math>du</math> ersetzt werden kann, während <math>x^2</math> durch ''u'' ersetzt wird. So erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx
 +
&= \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx\\[5pt]
 +
&= \left\{\begin{align}
 +
u &= x^2\\[5pt]
 +
du &= \bigl(x^2\bigr)'\,dx = 2x\,dx
 +
\end{align}\right\}\\[5pt]
 +
&= \int\limits_0^1 ue^u\tfrac{1}{2}\,du\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
we see that the expression
+
Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor <math>u</math> ableiten.
-
<math>''x\,dx''</math>
+
-
can be replaced by
+
-
<math>du</math>
+
-
and the rest of the integrand contains only
+
-
<math>x</math>
+
-
in the form of
+
-
<math>x^{\text{2}}</math>. The substitution gives
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\begin{align}
+
\frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du
-
& \int\limits_{0}^{1}{x^{3}e^{x^{2}}\,dx}=\int\limits_{0}^{1}{x^{2}e^{x^{2}}x\,dx}=\left\{ \begin{matrix}
+
&= \frac{1}{2}\Bigl[\ ue^u\ \Bigr]_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 1\cdot e^u\,du\\[5pt]
-
u=x^{2} \\
+
&= \frac{1}{2}\bigl(1\cdot e^1-0\bigr) - \frac{1}{2}\Bigl[\ e^u\ \Bigr]_0^1\\[5pt]
-
du=\left( x^{2} \right)^{\prime }\,dx=2x\,dx \\
+
&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}\bigl(e^1-e^0\bigr)\\[5pt]
-
\end{matrix} \right\} \\
+
&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\\[5pt]
-
& =\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\frac{1}{2}\,du}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\,du} \\
+
&= \frac{1}{2}
-
\end{align}</math>
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
We can then calculate this integral be partial integration, where we differentiate away the factor
+
-
<math>u</math>:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\,du}=\frac{1}{2}\left[ ue^{u} \right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{1\centerdot e^{u}\,du} \\
+
-
& =\frac{1}{2}\left( 1\centerdot e^{1}-0 \right)-\frac{1}{2}\left[ e^{u} \right]_{0}^{1} \\
+
-
& =\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}\left( e^{1}-e^{0} \right) \\
+
-
& =\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}e+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Da wir ein Produkt von zwei Funktionen haben, scheint es selbstverständlich, partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren so, dass wir x3 ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von ex2 finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir x3 integrieren und ex2 ableiten.

x3ex2dx=4x4ex2−4x4ex22xdx=41x4ex2−21x5ex2dx

Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.

Die Lösung ist, dass wir die Substitution u=x2 machen. Schreiben wir das Integral wie

10x3ex2dx=10x2ex2xdx 

sehen wir, dass "xdx" mit du ersetzt werden kann, während x2 durch u ersetzt wird. So erhalten wir

10x3ex2dx=10x2ex2xdx=udu=x2=x2dx=2xdx=10ueu21du=2110ueudu.

Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor u ableiten.

2110ueudu=21 ueu 10−21101eudu=211e1−0−21 eu 10=21e−21e1−e0=21e−21e+21=21
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