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Lösung 2.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (08:15, 28. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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-
If we use the definition of
+
Durch die Definition von <math>\tan x</math> erhalten wir
-
<math>\tan x</math>
+
-
and write the integral as
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\,</math>.}}
-
<math>\int{\tan x\,dx}=\int{\frac{\sin x}{\cos x}\,dx}</math>
+
Wir sehen hier, dass der Zähler <math>\sin x</math> (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution <math>u=\cos x</math>.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx
 +
&= \left\{\begin{align}
 +
u &= \cos x\\[5pt]
 +
du &= (\cos x)'\,dx = -\sin x\,dx
 +
\end{align}\right\}\\[5pt]
 +
&= -\int\frac{du}{u}\\[5pt]
 +
&= -\ln |u| + C\\[5pt]
 +
&= -\ln |\cos x| + C
 +
\end{align}</math>}}
-
we see that the numerator
 
-
<math>\sin x</math>
 
-
is the derivative of the denominator (apart from the minus sign). Hence, the substitution
 
-
<math>u=\cos x</math>
 
-
will work,
 
-
 
+
Hinweis: <math>-\ln \left| \cos x \right|+C</math> ist nur eine Stammfunktion, wenn <math>\cos x\ne 0</math>.
-
<math>\begin{align}
+
-
& \int{\frac{\sin x}{\cos x}\,dx}=\left\{ \begin{matrix}
+
-
u=\cos x \\
+
-
du=\left( \cos x \right)^{\prime }\,dx=-\sin x\,dx \\
+
-
\end{matrix} \right\} \\
+
-
& =-\int{\frac{\,du}{u}}=-\ln \left| u \right|+C=-\ln \left| \cos x \right|+C \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
NOTE:
+
-
<math>-\ln \left| \cos x \right|+C</math>
+
-
is only a primitive function in intervals in which
+
-
<math>\cos x\ne 0</math>.
+

Aktuelle Version

Durch die Definition von tanx erhalten wir

tanxdx=sinxcosxdx .

Wir sehen hier, dass der Zähler sinx (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution u=cosx.

sinxcosxdx=udu=cosx=(cosx)dx=−sinxdx=−udu=−lnu+C=−lncosx+C


Hinweis: −lncosx+C ist nur eine Stammfunktion, wenn cosx=0.

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