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Lösung 2.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Durch die Definition von <math>\tan x</math> erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\,</math>.}}
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Wir sehen hier, dass der Zähler <math>\sin x</math> (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution <math>u=\cos x</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx
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&= \left\{\begin{align}
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u &= \cos x\\[5pt]
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du &= (\cos x)'\,dx = -\sin x\,dx
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\end{align}\right\}\\[5pt]
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&= -\int\frac{du}{u}\\[5pt]
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&= -\ln |u| + C\\[5pt]
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&= -\ln |\cos x| + C
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\end{align}</math>}}
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Hinweis: <math>-\ln \left| \cos x \right|+C</math> ist nur eine Stammfunktion, wenn <math>\cos x\ne 0</math>.

Aktuelle Version

Durch die Definition von tanx erhalten wir

tanxdx=sinxcosxdx .

Wir sehen hier, dass der Zähler sinx (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution u=cosx.

sinxcosxdx=udu=cosx=(cosx)dx=−sinxdx=−udu=−lnu+C=−lncosx+C


Hinweis: −lncosx+C ist nur eine Stammfunktion, wenn cosx=0.

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