Processing Math: Done
Lösung 2.3:2d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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- | {{ | + | Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen. |
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- | {{ | + | '''Methode 1''' (partielle Integration) |
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- | {{ | + | Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt |
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+ | {{Abgesetzte Formel||<math>1\cdot \ln x</math>}} | ||
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+ | betrachten, <math>1</math> integrieren und <math>\ln x</math> ableiten. | ||
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+ | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
+ | \int 1\cdot\ln x\,dx | ||
+ | &= x\cdot\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt] | ||
+ | &= x\cdot\ln x - \int 1\,dx\\[5pt] | ||
+ | &= x\cdot\ln x - x + C | ||
+ | \end{align}</math>}} | ||
+ | |||
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+ | '''Methode 2''' (Substitution und partielle Integration) | ||
+ | |||
+ | Wir substituieren <math>u=\ln x\,</math>. So erhalten wir das Verhältnis | ||
+ | |||
+ | {{Abgesetzte Formel||<math>du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx</math>}} | ||
+ | |||
+ | und da <math>u = \ln x</math>, ist <math>x=e^u</math> und dadurch erhalten wir | ||
+ | |||
+ | {{Abgesetzte Formel||<math>du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}</math>}} | ||
+ | |||
+ | Also haben wir | ||
+ | |||
+ | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
+ | \int \ln x\,dx | ||
+ | = \left\{\begin{align} | ||
+ | u &= \ln x\\[5pt] | ||
+ | dx &= e^u\,du | ||
+ | \end{align}\right\} | ||
+ | = \int ue^u\,du\,\textrm{.} | ||
+ | \end{align}</math>}} | ||
+ | |||
+ | Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration | ||
+ | |||
+ | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
+ | \int u\cdot e^u\,du | ||
+ | &= u\cdot e^u - \int 1\cdot e^u\,du\\[5pt] | ||
+ | &= ue^u - \int e^u\,du\\[5pt] | ||
+ | &= ue^u - e^u + C\\[5pt] | ||
+ | &= (u-1)e^u + C | ||
+ | \end{align}</math>}} | ||
+ | |||
+ | und wir erhalten | ||
+ | |||
+ | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
+ | \int \ln x\,dx | ||
+ | &= (\ln x-1)e^{\ln x} + C\\[5pt] | ||
+ | &= (\ln x-1)x + C\,\textrm{.} | ||
+ | \end{align}</math>}} |
Aktuelle Version
Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.
Methode 1 (partielle Integration)
Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt
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betrachten,
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Methode 2 (Substitution und partielle Integration)
Wir substituieren
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und da
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Also haben wir
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Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration
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und wir erhalten
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