Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.

No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message


jsMath

Lösung 2.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Lösning 2.3:2d moved to Solution 2.3:2d: Robot: moved page)
Aktuelle Version (11:34, 28. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 8 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.
-
<center> [[Image:2_3_2d-1(2).gif]] </center>
+
 
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
 
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
'''Methode 1''' (partielle Integration)
-
<center> [[Image:2_3_2d-2(2).gif]] </center>
+
 
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>1\cdot \ln x</math>}}
 +
 
 +
betrachten, <math>1</math> integrieren und <math>\ln x</math> ableiten.
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int 1\cdot\ln x\,dx
 +
&= x\cdot\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt]
 +
&= x\cdot\ln x - \int 1\,dx\\[5pt]
 +
&= x\cdot\ln x - x + C
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
 
 +
'''Methode 2''' (Substitution und partielle Integration)
 +
 
 +
Wir substituieren <math>u=\ln x\,</math>. So erhalten wir das Verhältnis
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx</math>}}
 +
 
 +
und da <math>u = \ln x</math>, ist <math>x=e^u</math> und dadurch erhalten wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}</math>}}
 +
 
 +
Also haben wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int \ln x\,dx
 +
= \left\{\begin{align}
 +
u &= \ln x\\[5pt]
 +
dx &= e^u\,du
 +
\end{align}\right\}
 +
= \int ue^u\,du\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int u\cdot e^u\,du
 +
&= u\cdot e^u - \int 1\cdot e^u\,du\\[5pt]
 +
&= ue^u - \int e^u\,du\\[5pt]
 +
&= ue^u - e^u + C\\[5pt]
 +
&= (u-1)e^u + C
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
und wir erhalten
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int \ln x\,dx
 +
&= (\ln x-1)e^{\ln x} + C\\[5pt]
 +
&= (\ln x-1)x + C\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.


Methode 1 (partielle Integration)

Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt

1lnx

betrachten, 1 integrieren und lnx ableiten.

1lnxdx=xlnxxx1dx=xlnx1dx=xlnxx+C


Methode 2 (Substitution und partielle Integration)

Wir substituieren u=lnx. So erhalten wir das Verhältnis

du=(lnx)dx=x1dx

und da u=lnx, ist x=eu und dadurch erhalten wir

du=1eudxdx=eudu.

Also haben wir

lnxdx=udx=lnx=eudu=ueudu. 

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration

ueudu=ueu1eudu=ueueudu=ueueu+C=(u1)eu+C

und wir erhalten

lnxdx=(lnx1)elnx+C=(lnx1)x+C.