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Lösung 2.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
We shall solve the exercise in two different ways.
+
Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.
-
Method 1 (partial integration)
 
-
As first sight, partial integration seems impossible, but the trick is to see the integrand as the product
+
'''Methode 1''' (partielle Integration)
 +
Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt
-
<math>1\centerdot \ln x</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1\cdot \ln x</math>}}
 +
betrachten, <math>1</math> integrieren und <math>\ln x</math> ableiten.
-
We integrate the factor
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\text{1}</math>
+
\int 1\cdot\ln x\,dx
-
and differentiate
+
&= x\cdot\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt]
-
<math>\ln x</math>,
+
&= x\cdot\ln x - \int 1\,dx\\[5pt]
 +
&= x\cdot\ln x - x + C
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
'''Methode 2''' (Substitution und partielle Integration)
-
& \int{1\centerdot \ln x\,dx}=x\centerdot \ln x-\int{x\centerdot \frac{1}{x}\,dx} \\
+
-
& =x\centerdot \ln x-\int{1\,dx} \\
+
-
& =x\centerdot \ln x-x+C \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Wir substituieren <math>u=\ln x\,</math>. So erhalten wir das Verhältnis
-
Method 2 (substitution)
+
{{Abgesetzte Formel||<math>du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx</math>}}
-
It seems difficult to find some suitable expression to substitute, so we try to substitute the whole expression
+
und da <math>u = \ln x</math>, ist <math>x=e^u</math> und dadurch erhalten wir
-
<math>u=\text{ln }x</math>. The problem we encounter is how we should handle the change from
+
-
<math>dx</math>
+
-
to
+
-
<math>du</math>. With this substitution, the relation between
+
-
<math>dx</math>
+
-
and
+
-
<math>du</math>
+
-
becomes
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>du=\left( \ln x \right)^{\prime }\,dx=\frac{1}{x}\,dx</math>
+
Also haben wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int \ln x\,dx
 +
= \left\{\begin{align}
 +
u &= \ln x\\[5pt]
 +
dx &= e^u\,du
 +
\end{align}\right\}
 +
= \int ue^u\,du\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
and because
+
Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration
-
<math>u=\text{ln }x</math>, then
+
-
<math>x=e^{u}</math>
+
-
and we have that
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int u\cdot e^u\,du
 +
&= u\cdot e^u - \int 1\cdot e^u\,du\\[5pt]
 +
&= ue^u - \int e^u\,du\\[5pt]
 +
&= ue^u - e^u + C\\[5pt]
 +
&= (u-1)e^u + C
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>du=\frac{1}{e^{u}\,}\,dx\quad \Leftrightarrow \quad dx=e^{u}\,du</math>
+
und wir erhalten
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
Thus, the substitution becomes
+
\int \ln x\,dx
-
 
+
&= (\ln x-1)e^{\ln x} + C\\[5pt]
-
 
+
&= (\ln x-1)x + C\,\textrm{.}
-
<math>\begin{align}
+
\end{align}</math>}}
-
& \int{\ln x\,dx}=\left\{ \begin{matrix}
+
-
u=\text{ln }x \\
+
-
dx=e^{u}\,du \\
+
-
\end{matrix} \right\} \\
+
-
& =\int{ue^{u}\,du} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Now, we carry out a partial integration
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \int{ue^{u}\,du}=u\centerdot e^{u}-\int{1\centerdot e^{u}\,du} \\
+
-
& =u\centerdot e^{u}-\int{e^{u}\,du} \\
+
-
& =u\centerdot e^{u}-e^{u}+C \\
+
-
& =\left( u-1 \right)e^{u}+C \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and the answer becomes
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \int{\ln x\,dx}=\left( \ln x-1 \right)e^{\ln x}+C \\
+
-
& =\left( \ln x-1 \right)x+C \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.


Methode 1 (partielle Integration)

Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt

1lnx

betrachten, 1 integrieren und lnx ableiten.

1lnxdx=xlnx−xx1dx=xlnx−1dx=xlnx−x+C


Methode 2 (Substitution und partielle Integration)

Wir substituieren u=lnx. So erhalten wir das Verhältnis

du=(lnx)dx=x1dx

und da u=lnx, ist x=eu und dadurch erhalten wir

du=1eudxdx=eudu.

Also haben wir

lnxdx=udx=lnx=eudu=ueudu. 

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration

ueudu=ueu−1eudu=ueu−eudu=ueu−eu+C=(u−1)eu+C

und wir erhalten

lnxdx=(lnx−1)elnx+C=(lnx−1)x+C. 
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