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Lösung 2.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methode lösen.
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Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.
'''Methode 1''' (partielle Integration)
'''Methode 1''' (partielle Integration)
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Am ersten Anblich scheint es unmöglich partielle Integration auszuführen. Der Trick ist, dass wir den Integrand als den Produkt
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Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt
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{{Abgesetzte Formel||<math>1\cdot \ln x\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>1\cdot \ln x</math>}}
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betrachten, den 1:er integrieren und <math>\ln x</math> ableiten,
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betrachten, <math>1</math> integrieren und <math>\ln x</math> ableiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= x\cdot\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt]
&= x\cdot\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt]
&= x\cdot\ln x - \int 1\,dx\\[5pt]
&= x\cdot\ln x - \int 1\,dx\\[5pt]
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&= x\cdot\ln x - x + C\,\textrm{.}
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&= x\cdot\ln x - x + C
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx</math>}}
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und nachdem <math>u = \ln x</math>, ist <math>x=e^u</math> und dadurch erhalten wir
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und da <math>u = \ln x</math>, ist <math>x=e^u</math> und dadurch erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}</math>}}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Dieses Integral berechnen wir durch partielle Intagration,
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Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= ue^u - \int e^u\,du\\[5pt]
&= ue^u - \int e^u\,du\\[5pt]
&= ue^u - e^u + C\\[5pt]
&= ue^u - e^u + C\\[5pt]
-
&= (u-1)e^u + C\,,
+
&= (u-1)e^u + C
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.


Methode 1 (partielle Integration)

Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt

1lnx

betrachten, 1 integrieren und lnx ableiten.

1lnxdx=xlnx−xx1dx=xlnx−1dx=xlnx−x+C


Methode 2 (Substitution und partielle Integration)

Wir substituieren u=lnx. So erhalten wir das Verhältnis

du=(lnx)dx=x1dx

und da u=lnx, ist x=eu und dadurch erhalten wir

du=1eudxdx=eudu.

Also haben wir

lnxdx=udx=lnx=eudu=ueudu. 

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration

ueudu=ueu−1eudu=ueu−eudu=ueu−eu+C=(u−1)eu+C

und wir erhalten

lnxdx=(lnx−1)elnx+C=(lnx−1)x+C. 
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