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Lösung 2.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (11:34, 28. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>1\cdot \ln x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1\cdot \ln x</math>}}
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betrachten, den 1:er integrieren und <math>\ln x</math> ableiten.
+
betrachten, <math>1</math> integrieren und <math>\ln x</math> ableiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Dieses Integral berechnen wir durch partielle Intagration
+
Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.


Methode 1 (partielle Integration)

Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt

1lnx

betrachten, 1 integrieren und lnx ableiten.

1lnxdx=xlnx−xx1dx=xlnx−1dx=xlnx−x+C


Methode 2 (Substitution und partielle Integration)

Wir substituieren u=lnx. So erhalten wir das Verhältnis

du=(lnx)dx=x1dx

und da u=lnx, ist x=eu und dadurch erhalten wir

du=1eudxdx=eudu.

Also haben wir

lnxdx=udx=lnx=eudu=ueudu. 

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration

ueudu=ueu−1eudu=ueu−eudu=ueu−eu+C=(u−1)eu+C

und wir erhalten

lnxdx=(lnx−1)elnx+C=(lnx−1)x+C. 
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