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Lösung 3.3:1d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
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Because we are going to raise something to the power 12, the base in the expression should be written in polar form. In turn, the base consists of a quotient which is advantageous to calculate in polar form. Thus, it seems appropriate to write
+
Wir bringen zuerst
-
<math>1+i\sqrt{3}</math> and <math>\text{1}+i</math> in polar form right from the beginning and to carry out all calculations in polar form.
+
<math>1+i\sqrt{3}</math> und <math>\text{1}+i</math> in Polarform und rechnen weiterhin in Polarform.
<center>[[Image:3_3_1_d.gif]] [[Image:3_3_1_d_text.gif]]</center>
<center>[[Image:3_3_1_d.gif]] [[Image:3_3_1_d_text.gif]]</center>
-
We obtain
+
Wir erhalten
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
1+i\sqrt{3} &= 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
1+i\sqrt{3} &= 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)
1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
and
+
und daraus folgt
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt]
&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Finally, de Moivre's formula gives
+
Durch den Moivreschen Satz erhalten wir schließlich
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\Bigr)^{12}
\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\Bigr)^{12}
&= \bigl(\sqrt{2}\,\bigr)^{12}\Bigl(\cos\Bigl(12\cdot\frac{\pi}{12}\Bigr) + i\sin\Bigl(12\cdot\frac{\pi}{12}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= \bigl(\sqrt{2}\,\bigr)^{12}\Bigl(\cos\Bigl(12\cdot\frac{\pi}{12}\Bigr) + i\sin\Bigl(12\cdot\frac{\pi}{12}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]

Aktuelle Version

Wir bringen zuerst 1+i3  und 1+i in Polarform und rechnen weiterhin in Polarform.

Image:3_3_1_d.gif Image:3_3_1_d_text.gif

Wir erhalten

1+i31+i=2cos3+isin3=2cos4+isin4

und daraus folgt

1+i1+i3=2cos3+isin32cos4+isin4=22cos3−4+isin3−4=2cos12+isin12.

Durch den Moivreschen Satz erhalten wir schließlich

1+i1+i312=212cos1212+isin1212=2(12)12(cos+isin)=26(−1+i0)=−64.
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