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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
	r^{4} &= 1\,,\\[5pt]		r^{4} &= 1\,,\\[5pt]
-	4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige natürliche Zahl})\,\textrm{.}	+	4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige natürliche Zahl})\textrm{.}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

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Version vom 08:32, 1. Sep. 2009

Eine Gleichung der Form "zn=Eine komplexe Zahl" löst man, indem man alle Zahlen in Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.

Wir bringen zuerst z und 1 in Polarform

z1=r(cos+isin)=1(cos0+isin0).

Wir erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=1(cos0+isin0)

wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein Multipel von 2 unterscheiden

r44=1=0+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

Also ist

r=1=2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

und die Wurzeln sind

z=1cos2n+isin2nfür n=0123 .

Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich 0, 2, und 32, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein Multipel von 2 von diesen Winkeln unterscheidet.

Die Wurzeln sind daher

z=1(cos0+isin0)1(cos(2)+isin(2))1(cos+isin)1(cos(32)+isin(32))=1i−1−i.

Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, da wir 4 verschiedene Lösungen haben.