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Lösung 3.3:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Typically, one solves a second-degree by completing the square, followed by taking the root.
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Eine quadratische Gleichung wie diese löst man durch quadratische Ergänzung
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If we complete the square of the left-hand side, we get
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<math>\begin{align}
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& \left( z-2 \right)^{2}-2^{2}+5=0, \\
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& \left( z-2 \right)^{2}+1=0. \\
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\end{align}</math>
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Taking the root then gives that the equation has roots
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<math>z-2=\pm i,</math>
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i.e.
+
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<math>z=\text{2}+i</math>
+
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and
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<math>z=\text{2}-i</math>.
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-
 
+
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If we want to be sure that we have found the correct solutions, we can substitute each solution into the equation and see whether the equation is satisfied.
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<math>\begin{align}
+
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& z=\text{2}+i:\quad z^{2}-4z+5=\left( \text{2}+i \right)^{2}-4\left( \text{2}+i \right)+5 \\
+
-
& =2^{2}+4i+i^{2}-8-4i+5 \\
+
-
& =4+4i-1-8-4i+5=0 \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(z-2)^2-2^2+5&=0,\\[5pt]
 +
(z-2)^2+1&=0.
 +
\end{align}</math>}}
 +
Berechnen wir die Wurzel der rechten Seite, erhalten wir die Lösungen (Wurzeln) <math>z-2=\pm i</math>, also <math>z=2+i</math> und <math>z=2-i</math>.
 +
Wir können diese Lösungen in der Gleichung substituieren, um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben.
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
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& z=\text{2-}i:\quad z^{2}-4z+5=\left( \text{2-}i \right)^{2}-4\left( \text{2-}i \right)+5 \\
+
z=2+i:\qquad z^2-4z+5
-
& =2^{2}-4i+i^{2}-8+4i+5 \\
+
&= (2+i)^2-4(2+i)+5\\[5pt]
-
& =4-4i-1-8+4i+5=0 \\
+
&= 2^2+4i+i^2-8-4i+5\\[5pt]
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&= 4+4i-1-8-4i+5\\[5pt]
 +
&=0\\[10pt]
 +
z={}\rlap{2-i:}\phantom{2+i:}{}\qquad z^2-4z+5
 +
&= (2-i)^2-4(2-i)+5\\[5pt]
 +
&= 2^2-4i+i^2-8+4i+5\\[5pt]
 +
&= 4-4i-1-8+4i+5\\[5pt]
 +
&= 0
\end{align}</math>
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Eine quadratische Gleichung wie diese löst man durch quadratische Ergänzung

(z−2)2−22+5(z−2)2+1=0=0

Berechnen wir die Wurzel der rechten Seite, erhalten wir die Lösungen (Wurzeln) z−2=i, also z=2+i und z=2−i.

Wir können diese Lösungen in der Gleichung substituieren, um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben.

z=2+i:z2−4z+5z=2−i:z2−4z+5=(2+i)2−4(2+i)+5=22+4i+i2−8−4i+5=4+4i−1−8−4i+5=0=(2−i)2−4(2−i)+5=22−4i+i2−8+4i+5=4−4i−1−8+4i+5=0

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